Номер 40.5, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.5.

1) $(x + 3y): (x^2 - 9y^2);$

2) $ \frac{ab^2}{a^2 - 1} : \frac{5b}{a - a^2}; $

3) $(a^2 + 6ab + 9b^2) : (a^2 - 9b^2);$

4) $ \frac{x^2 - 4y^2}{xy} : \frac{x^2 - 2xy}{3y}; $

5) $ \frac{a^2 - 3a}{a^2 - 25} : \frac{a^2 - 9}{a^2 + 5a}; $

6) $ \frac{3m^2 - 3n^2}{m^2 + mp} : \frac{6m - 6n}{p + m}. $

1) Запишем деление в виде дроби: $\frac{x + 3y}{x^2 - 9y^2}$. Знаменатель $x^2 - 9y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$. После подстановки в дробь получаем: $\frac{x + 3y}{(x - 3y)(x + 3y)}$. Сокращаем общий множитель $(x + 3y)$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $\frac{1}{x - 3y}$.
Ответ: $\frac{1}{x - 3y}$.

2) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $\frac{ab^2}{a^2 - 1} : \frac{5b}{a - a^2} = \frac{ab^2}{a^2 - 1} \cdot \frac{a - a^2}{5b}$. Разложим числители и знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Числитель второй дроби: $a - a^2 = a(1 - a) = -a(a - 1)$. Подставим разложенные выражения: $\frac{ab^2}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{-a(a - 1)}{5b}$. Теперь сократим общие множители $(a-1)$ и $b$: $\frac{ab}{a + 1} \cdot \frac{-a}{5} = \frac{a \cdot b \cdot (-a)}{(a + 1) \cdot 5} = -\frac{a^2b}{5(a + 1)}$.
Ответ: $-\frac{a^2b}{5(a + 1)}$.

3) Запишем деление многочленов в виде дроби: $\frac{a^2 + 6ab + 9b^2}{a^2 - 9b^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a + 3b)^2$. Знаменатель является разностью квадратов: $a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$. Получаем дробь: $\frac{(a + 3b)^2}{(a - 3b)(a + 3b)}$. Сокращаем на общий множитель $(a + 3b)$.
Ответ: $\frac{a + 3b}{a - 3b}$.

4) Для деления дробей умножаем первую дробь на обратную второй: $\frac{x^2 - 4y^2}{xy} : \frac{x^2 - 2xy}{3y} = \frac{x^2 - 4y^2}{xy} \cdot \frac{3y}{x^2 - 2xy}$. Разложим на множители числитель первой дроби (как разность квадратов) и знаменатель второй дроби (вынесением общего множителя): $x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$ и $x^2 - 2xy = x(x - 2y)$. Подставляем полученные выражения: $\frac{(x - 2y)(x + 2y)}{xy} \cdot \frac{3y}{x(x - 2y)}$. Сокращаем общие множители $(x - 2y)$ и $y$: $\frac{x + 2y}{x} \cdot \frac{3}{x} = \frac{3(x + 2y)}{x^2}$.
Ответ: $\frac{3(x + 2y)}{x^2}$.

5) Заменяем деление на умножение на обратную дробь: $\frac{a^2 - 3a}{a^2 - 25} : \frac{a^2 - 9}{a^2 + 5a} = \frac{a^2 - 3a}{a^2 - 25} \cdot \frac{a^2 + 5a}{a^2 - 9}$. Разложим все числители и знаменатели на множители: $a^2 - 3a = a(a - 3)$; $a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$; $a^2 + 5a = a(a + 5)$; $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$. Получаем выражение: $\frac{a(a - 3)}{(a - 5)(a + 5)} \cdot \frac{a(a + 5)}{(a - 3)(a + 3)}$. Сокращаем общие множители $(a - 3)$ и $(a + 5)$: $\frac{a}{a - 5} \cdot \frac{a}{a + 3} = \frac{a^2}{(a - 5)(a + 3)}$.
Ответ: $\frac{a^2}{(a - 5)(a + 3)}$.

6) Заменяем деление на умножение на обратную дробь: $\frac{3m^2 - 3n^2}{m^2 + mp} : \frac{6m - 6n}{p + m} = \frac{3m^2 - 3n^2}{m^2 + mp} \cdot \frac{p + m}{6m - 6n}$. Разложим на множители: $3m^2 - 3n^2 = 3(m^2 - n^2) = 3(m - n)(m + n)$; $m^2 + mp = m(m + p)$; $6m - 6n = 6(m - n)$. Подставляем в выражение: $\frac{3(m - n)(m + n)}{m(m + p)} \cdot \frac{m + p}{6(m - n)}$. Сокращаем общие множители $(m - n)$ и $(m + p)$. Также сокращаем числовые коэффициенты 3 и 6 (в знаменателе останется 2): $\frac{m + n}{m} \cdot \frac{1}{2} = \frac{m + n}{2m}$.
Ответ: $\frac{m + n}{2m}$.