Номер 40.1, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.1. Представьте дробь в виде произведения или частного двух дробно-рациональных выражений:

1) $\frac{3xy-2y}{5x^2}$;

2) $\frac{4x^3y-2y^2}{3xy^2}$;

3) $\frac{3xy^3+12y}{5x^2a}$;

4) $\frac{7xy-25y^3}{5a^2-x}$.

1) Исходная дробь: $\frac{3xy - 2y}{5x^2}$.

Чтобы представить эту дробь в виде произведения или частного, необходимо сначала разложить на множители ее числитель или знаменатель. В данном случае разложим на множители числитель, вынеся за скобки общий множитель $y$:

$3xy - 2y = y(3x - 2)$.

Таким образом, исходная дробь принимает вид:

$\frac{y(3x - 2)}{5x^2}$.

Теперь мы можем представить эту дробь как произведение двух дробей, сгруппировав множители. Например, можно множитель $y$ отделить от $(3x - 2)$, а множители знаменателя $5$ и $x^2$ распределить между дробями.

Вариант представления в виде произведения:

$\frac{y(3x - 2)}{5x^2} = \frac{y}{5} \cdot \frac{3x - 2}{x^2}$.

Вариант представления в виде частного (используя правило $\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a}{b} : \frac{1}{c}$):

$\frac{y(3x - 2)}{5x^2} = \frac{y}{5x^2} : \frac{1}{3x-2}$.

Ответ: $\frac{y}{5} \cdot \frac{3x - 2}{x^2}$.

2) Исходная дробь: $\frac{4x^3y - 2y^2}{3xy^2}$.

Сначала разложим числитель на множители. Общий множитель для $4x^3y$ и $-2y^2$ это $2y$:

$4x^3y - 2y^2 = 2y(2x^3 - y)$.

Теперь дробь можно записать как:

$\frac{2y(2x^3 - y)}{3xy^2}$.

Представим эту дробь в виде произведения. Можно сгруппировать множители разными способами. Например:

$\frac{2y(2x^3 - y)}{3xy^2} = \frac{2y}{3x} \cdot \frac{2x^3 - y}{y^2}$.

Также можно было бы сократить дробь на $y$, но задача состоит в представлении исходной дроби.

Представление в виде частного:

$\frac{2y(2x^3 - y)}{3xy^2} = \frac{2y(2x^3-y)}{3y^2} : x$.

Ответ: $\frac{2y}{3x} \cdot \frac{2x^3 - y}{y^2}$.

3) Исходная дробь: $\frac{3xy^3 + 12y}{5x^2a}$.

Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $3y$ за скобки:

$3xy^3 + 12y = 3y(xy^2 + 4)$.

Дробь принимает вид:

$\frac{3y(xy^2 + 4)}{5x^2a}$.

Представим ее в виде произведения двух дробей. Знаменатель $5x^2a$ можно рассматривать как $5a \cdot x^2$.

$\frac{3y(xy^2 + 4)}{5x^2a} = \frac{3y}{5a} \cdot \frac{xy^2 + 4}{x^2}$.

Другой вариант в виде произведения:

$\frac{3y(xy^2 + 4)}{5x^2a} = 3y \cdot \frac{xy^2 + 4}{5x^2a}$.

Представление в виде частного:

$\frac{3y(xy^2+4)}{5x^2a} = \frac{3y}{5x^2a} : \frac{1}{xy^2+4}$.

Ответ: $\frac{3y}{5a} \cdot \frac{xy^2 + 4}{x^2}$.

4) Исходная дробь: $\frac{7xy - 25y^3}{5a^2 - x}$.

Разложим на множители числитель, вынеся за скобки общий множитель $y$:

$7xy - 25y^3 = y(7x - 25y^2)$.

Знаменатель $5a^2 - x$ на множители не раскладывается.

Дробь принимает вид:

$\frac{y(7x - 25y^2)}{5a^2 - x}$.

Представим эту дробь в виде произведения, отделив множитель $y$:

$\frac{y(7x - 25y^2)}{5a^2 - x} = y \cdot \frac{7x - 25y^2}{5a^2 - x}$.

Представление в виде частного:

$\frac{y(7x - 25y^2)}{5a^2 - x} = \frac{y}{5a^2-x} : \frac{1}{7x-25y^2}$.

Ответ: $y \cdot \frac{7x - 25y^2}{5a^2 - x}$.