Номер 40.4, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия (40.4–40.5):

40.4. 1) $ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2}; $

2) $ \frac{x^2 - xy}{4y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{2x^3}{x - y}; $

3) $ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6}; $

4) $ \frac{m - n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn - m^2}; $

5) $ \frac{ma - mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb - na}; $

6) $ \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab + b^2}{9} \cdot \frac{6}{a}; $

7) $ \frac{4ab}{cx + dx} \cdot \frac{ax + bx}{2ab}; $

8) $ \frac{ax - ay}{5x^2y^2} \cdot \left( -\frac{5xy}{by - bx} \right); $

9) $ \frac{cx - cy}{35x^2y^2} \cdot \left( -\frac{15xy}{ny - nx} \right). $

1) $\frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2}$
Чтобы выполнить умножение, перемножим все числители и все знаменатели:
$\frac{2a^2b \cdot 3x^2y \cdot 6ax}{3xy \cdot 4ab^2 \cdot 15b^2} = \frac{(2 \cdot 3 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y}{(3 \cdot 4 \cdot 15) \cdot a \cdot (b^2 \cdot b^2) \cdot x \cdot y} = \frac{36a^3bx^3y}{180ab^4xy}$
Теперь сократим полученную дробь.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{36}{180} = \frac{1}{5}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a^3}{a} = a^2$, $\frac{b}{b^4} = \frac{1}{b^3}$, $\frac{x^3}{x} = x^2$, $\frac{y}{y} = 1$.
Объединяем полученные результаты: $\frac{1}{5} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^3} \cdot x^2 = \frac{a^2x^2}{5b^3}$.
Ответ: $\frac{a^2x^2}{5b^3}$

2) $\frac{x^2 - xy}{4y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{2x^3}{x-y}$
Сначала разложим на множители числитель первой дроби: $x^2 - xy = x(x-y)$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{x(x-y)}{4y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{2x^3}{x-y}$.
Перемножим дроби: $\frac{x(x-y) \cdot y^2 \cdot 2x^3}{4y \cdot x \cdot (x-y)}$.
Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $(x-y)$, $x$, $y$ и числовые коэффициенты ($\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$).
$\frac{\cancel{x}\cancel{(x-y)} \cdot y^{\cancel{2}} \cdot \cancel{2}x^3}{\cancel{4}_2 \cancel{y} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{(x-y)}} = \frac{yx^3}{2}$.
Ответ: $\frac{x^3y}{2}$

3) $\frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6}$
Перемножим дроби: $\frac{6m^3n^2 \cdot 49n^4 \cdot 5m^4p^2}{35p^3 \cdot m^5p^3 \cdot 42n^6}$.
Сгруппируем и упростим коэффициенты и степени переменных отдельно.
Коэффициенты: $\frac{6 \cdot 49 \cdot 5}{35 \cdot 42} = \frac{6 \cdot (7 \cdot 7) \cdot 5}{(5 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 7)} = 1$.
Переменная $m$: $\frac{m^3 \cdot m^4}{m^5} = \frac{m^7}{m^5} = m^2$.
Переменная $n$: $\frac{n^2 \cdot n^4}{n^6} = \frac{n^6}{n^6} = 1$.
Переменная $p$: $\frac{p^2}{p^3 \cdot p^3} = \frac{p^2}{p^6} = \frac{1}{p^4}$.
Собираем все вместе: $1 \cdot m^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{p^4} = \frac{m^2}{p^4}$.
Ответ: $\frac{m^2}{p^4}$

4) $\frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn-m^2}$
Разложим на множители знаменатель второй дроби: $mn-m^2 = m(n-m)$.
Заметим, что $n-m = -(m-n)$.
Выражение принимает вид: $\frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{m(n-m)} = \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{-m(m-n)}$.
Сократим общие множители $(m-n)$ и $mn$: $\frac{\cancel{m-n}}{\cancel{mn}} \cdot \frac{2\cancel{mn}}{-m(\cancel{m-n})} = \frac{2}{-m} = -\frac{2}{m}$.
Ответ: $-\frac{2}{m}$

5) $\frac{ma-mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb-na}$
Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе: $ma-mb = m(a-b)$ и $nb-na = n(b-a)$.
Заметим, что $b-a = -(a-b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{m(a-b)}{3n^2} \cdot \frac{2m}{-n(a-b)}$.
Перемножим дроби: $\frac{m(a-b) \cdot 2m}{3n^2 \cdot (-n(a-b))} = \frac{2m^2(a-b)}{-3n^3(a-b)}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$: $\frac{2m^2}{-3n^3} = -\frac{2m^2}{3n^3}$.
Ответ: $-\frac{2m^2}{3n^3}$

6) $\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab+b^2}{9} \cdot \frac{6}{a}$
Разложим на множители числитель второй дроби: $ab+b^2 = b(a+b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{b(a+b)}{9} \cdot \frac{6}{a}$.
Перемножим дроби: $\frac{3a \cdot b(a+b) \cdot 6}{b^2 \cdot 9 \cdot a}$.
Сократим общие множители $a$, $b$ и числовые коэффициенты: $\frac{3 \cdot 6}{9} = \frac{18}{9} = 2$.
$\frac{\cancel{18} \cdot a \cdot b \cdot (a+b)}{9 \cdot a \cdot b^2} \rightarrow \frac{2 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot (a+b)}{\cancel{a} \cdot b^{\cancel{2}}} = \frac{2(a+b)}{b}$.
Ответ: $\frac{2(a+b)}{b}$

7) $\frac{4ab}{cx+dx} \cdot \frac{ax+bx}{2ab}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй: $cx+dx = x(c+d)$ и $ax+bx = x(a+b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{4ab}{x(c+d)} \cdot \frac{x(a+b)}{2ab}$.
Перемножим дроби: $\frac{4ab \cdot x(a+b)}{x(c+d) \cdot 2ab}$.
Сократим общие множители $x$, $ab$ и числовые коэффициенты $\frac{4}{2} = 2$.
$\frac{\cancel{4}_2\cancel{ab} \cdot \cancel{x}(a+b)}{\cancel{x}(c+d) \cdot \cancel{2}\cancel{ab}} = \frac{2(a+b)}{c+d}$.
Ответ: $\frac{2(a+b)}{c+d}$

8) $\frac{ax-ay}{5x^2y^2} \cdot (-\frac{5xy}{by-bx})$
Разложим на множители: $ax-ay = a(x-y)$ и $by-bx = b(y-x) = -b(x-y)$.
Знак "минус" перед второй дробью можно использовать, чтобы изменить знак в ее знаменателе: $-\frac{5xy}{by-bx} = \frac{5xy}{-(by-bx)} = \frac{5xy}{bx-by} = \frac{5xy}{b(x-y)}$.
Выражение принимает вид: $\frac{a(x-y)}{5x^2y^2} \cdot \frac{5xy}{b(x-y)}$.
Перемножим и сократим: $\frac{a(x-y) \cdot 5xy}{5x^2y^2 \cdot b(x-y)} = \frac{a\cancel{(x-y)} \cdot \cancel{5}\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{5}x^{\cancel{2}}_x y^{\cancel{2}}_y \cdot b\cancel{(x-y)}} = \frac{a}{xy \cdot b}$.
Ответ: $\frac{a}{bxy}$

9) $\frac{cx-cy}{35x^2y^2} \cdot (-\frac{15xy}{ny-nx})$
Разложим на множители: $cx-cy = c(x-y)$ и $ny-nx = n(y-x) = -n(x-y)$.
Знак "минус" перед второй дробью внесем в ее знаменатель: $-\frac{15xy}{ny-nx} = \frac{15xy}{-(ny-nx)} = \frac{15xy}{nx-ny} = \frac{15xy}{n(x-y)}$.
Выражение принимает вид: $\frac{c(x-y)}{35x^2y^2} \cdot \frac{15xy}{n(x-y)}$.
Перемножим и сократим: $\frac{c(x-y) \cdot 15xy}{35x^2y^2 \cdot n(x-y)}$.
Сокращаем $(x-y)$, $x$, $y$ и коэффициенты $\frac{15}{35} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{3}{7}$.
$\frac{c \cdot \cancel{15}_3}{\cancel{35}_7 \cdot xy \cdot n} = \frac{3c}{7nxy}$.
Ответ: $\frac{3c}{7nxy}$