Номер 40.10, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.10. Докажите, что не зависит от допустимых значений переменной значение выражения:

1) $ \frac{a^2 - 1}{a - b} \cdot \frac{7a - 7b}{a^2 + a} : \frac{a - 1}{a} $

2) $ \frac{(x + 3)^2}{2x - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{3x + 9} \cdot \frac{2}{(x + 3) \cdot (x + 2)} $

3) $ \frac{(y - 5)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 - 36}{2y - 10} \cdot \frac{2}{(y - 5) \cdot (x + 6)} $

4) $ \frac{n^2 + 2nc}{n + 3} \cdot \frac{5n + 15}{n^2 - 4c^2} \cdot \frac{n - 2c}{n} $

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от допустимых значений переменной, необходимо его упростить. Выполним преобразования для $ \frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a} : \frac{a-1}{a} $.
Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:
$ a^2-1 = (a-1)(a+1) $
$ 7a-7b = 7(a-b) $
$ a^2+a = a(a+1) $
Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное. Деление на дробь заменим умножением на обратную ей дробь:
$ \frac{(a-1)(a+1)}{a-b} \cdot \frac{7(a-b)}{a(a+1)} \cdot \frac{a}{a-1} $
Запишем все под одной дробной чертой и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{(a-1)(a+1) \cdot 7(a-b) \cdot a}{(a-b) \cdot a(a+1) \cdot (a-1)} = \frac{7 \cdot \cancel{(a-1)} \cdot \cancel{(a+1)} \cdot \cancel{(a-b)} \cdot \cancel{a}}{\cancel{(a-b)} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{(a+1)} \cdot \cancel{(a-1)}} = 7 $
В результате упрощения получилось число 7. Это доказывает, что значение выражения не зависит от значений переменных $a$ и $b$ (при условии, что они входят в область допустимых значений: $a \neq b, a \neq 0, a \neq -1, a \neq 1$).
Ответ: 7.

2) Упростим выражение $ \frac{(x+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{3x+9} \cdot \frac{2}{(x+3)(x+2)} $.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
$ 2x-4 = 2(x-2) $
$ x^2-4 = (x-2)(x+2) $
$ 3x+9 = 3(x+3) $
Подставим разложенные выражения в исходное:
$ \frac{(x+3)^2}{2(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{3(x+3)} \cdot \frac{2}{(x+3)(x+2)} $
Объединим все в одну дробь и сгруппируем множители для удобства сокращения:
$ \frac{(x+3)^2 \cdot (x-2)(x+2) \cdot 2}{2(x-2) \cdot 3(x+3) \cdot (x+3)(x+2)} = \frac{2 \cdot (x+3)^2 \cdot (x-2)(x+2)}{6 \cdot (x+3)^2 \cdot (x-2)(x+2)} $
Теперь сократим общие множители $ (x+3)^2 $, $ (x-2) $, $ (x+2) $ и числовые коэффициенты:
$ \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{(x+3)^2} \cdot \cancel{(x-2)} \cdot \cancel{(x+2)}}{\cancel{6}_3 \cdot \cancel{(x+3)^2} \cdot \cancel{(x-2)} \cdot \cancel{(x+2)}} = \frac{1}{3} $
Значение выражения равно $ \frac{1}{3} $ и не зависит от допустимых значений переменной $x$ (при $x \neq 2, x \neq -2, x \neq -3$).
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

3) Рассмотрим выражение $ \frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10} \cdot \frac{2}{(y-5)(x+6)} $.
В условии, скорее всего, допущена опечатка в последнем множителе. Наличие переменной $x$ и структура выражения указывают на то, что знаменатель должен был быть $ (y-5)(y-6) $. При таком исправлении значение выражения не будет зависеть от переменной. Решим задачу с этим исправлением.
Исправленное выражение: $ \frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10} \cdot \frac{2}{(y-5)(y-6)} $.
Разложим на множители:
$ 2y+12 = 2(y+6) $
$ y^2-36 = (y-6)(y+6) $
$ 2y-10 = 2(y-5) $
Подставим в выражение:
$ \frac{(y-5)^2}{2(y+6)} \cdot \frac{(y-6)(y+6)}{2(y-5)} \cdot \frac{2}{(y-5)(y-6)} $
Запишем все в виде одной дроби:
$ \frac{(y-5)^2 \cdot (y-6)(y+6) \cdot 2}{2(y+6) \cdot 2(y-5) \cdot (y-5)(y-6)} = \frac{2 \cdot (y-5)^2 \cdot (y-6)(y+6)}{4 \cdot (y-5)^2 \cdot (y-6)(y+6)} $
Сократим общие множители $ (y-5)^2 $, $ (y-6) $, $ (y+6) $ и $ \frac{2}{4} $:
$ \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{(y-5)^2} \cdot \cancel{(y-6)} \cdot \cancel{(y+6)}}{\cancel{4}_2 \cdot \cancel{(y-5)^2} \cdot \cancel{(y-6)} \cdot \cancel{(y+6)}} = \frac{1}{2} $
С учетом исправленной опечатки, значение выражения равно $ \frac{1}{2} $ и не зависит от $y$.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

4) Упростим выражение $ \frac{n^2+2nc}{n+3} \cdot \frac{5n+15}{n^2-4c^2} \cdot \frac{n-2c}{n} $.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
$ n^2+2nc = n(n+2c) $
$ 5n+15 = 5(n+3) $
$ n^2-4c^2 = (n-2c)(n+2c) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{n(n+2c)}{n+3} \cdot \frac{5(n+3)}{(n-2c)(n+2c)} \cdot \frac{n-2c}{n} $
Запишем все множители в одну дробь и выполним сокращение:
$ \frac{n(n+2c) \cdot 5(n+3) \cdot (n-2c)}{(n+3) \cdot (n-2c)(n+2c) \cdot n} = \frac{5 \cdot \cancel{n} \cdot \cancel{(n+2c)} \cdot \cancel{(n+3)} \cdot \cancel{(n-2c)}}{\cancel{n} \cdot \cancel{(n+3)} \cdot \cancel{(n-2c)} \cdot \cancel{(n+2c)}} = 5 $
Значение выражения равно 5 и не зависит от допустимых значений переменных $n$ и $c$ (при $n \neq 0, n \neq -3, n \neq \pm 2c$).
Ответ: 5.