Номер 40.14, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.14. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных целым числом является значение выражения:

1) $\frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2} \cdot \frac{(2 - a) \cdot (4 - b^2)}{a + 2};$

2) $\frac{4m^2 - 25n^2}{m^3 + 8} : \frac{2m + 5n}{m^2 - 2m + 4} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n}$

1) Чтобы доказать, что значение выражения является целым числом при любых допустимых значениях переменных, мы упростим данное выражение.
Исходное выражение: $ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2} \cdot \frac{(2 - a) \cdot (4 - b^2)}{a + 2} $.
Сначала заменим деление на дробь умножением на обратную дробь:
$ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} \cdot \frac{4 + b^2}{4 - a^2} \cdot \frac{(2 - a) \cdot (4 - b^2)}{a + 2} $.
Теперь разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$ a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2 $ (квадрат суммы)
$ 16 - b^4 = (4 - b^2)(4 + b^2) $ (разность квадратов)
$ 4 - a^2 = (2 - a)(2 + a) $ (разность квадратов)
Подставим разложенные выражения обратно в исходное:
$ \frac{(a+2)^2}{(4 - b^2)(4 + b^2)} \cdot \frac{4 + b^2}{(2 - a)(2 + a)} \cdot \frac{(2 - a) \cdot (4 - b^2)}{a + 2} $.
Запишем все под одной дробной чертой и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Заметим, что $2+a = a+2$.
$ \frac{(a+2)^2 \cdot (4 + b^2) \cdot (2 - a) \cdot (4 - b^2)}{(4 - b^2)(4 + b^2) \cdot (2 - a)(a + 2) \cdot (a + 2)} = \frac{(a+2)^2 \cdot (4 + b^2) \cdot (2 - a) \cdot (4 - b^2)}{(4 - b^2)(4 + b^2) \cdot (2 - a) \cdot (a+2)^2} $.
После сокращения всех множителей получаем:
$ \frac{\cancel{(a+2)^2} \cdot \cancel{(4 + b^2)} \cdot \cancel{(2 - a)} \cdot \cancel{(4 - b^2)}}{\cancel{(4 - b^2)}\cancel{(4 + b^2)} \cdot \cancel{(2 - a)} \cdot \cancel{(a+2)^2}} = 1 $.
Значение выражения равно 1 при всех допустимых значениях переменных ($a \neq \pm 2, b \neq \pm 2$). Число 1 является целым, что и требовалось доказать.
Ответ: 1.

2) Аналогично первому пункту, упростим выражение, чтобы доказать, что его значение является целым числом.
Исходное выражение: $ \frac{4m^2 - 25n^2}{m^3 + 8} : \frac{2m + 5n}{m^2 - 2m + 4} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n} $.
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{4m^2 - 25n^2}{m^3 + 8} \cdot \frac{m^2 - 2m + 4}{2m + 5n} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n} $.
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ 4m^2 - 25n^2 = (2m - 5n)(2m + 5n) $ (разность квадратов)
$ m^3 + 8 = m^3 + 2^3 = (m + 2)(m^2 - 2m + 4) $ (сумма кубов)
Выражение $ m^2 - 2m + 4 $ является неполным квадратом разности и на множители не раскладывается.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(2m - 5n)(2m + 5n)}{(m + 2)(m^2 - 2m + 4)} \cdot \frac{m^2 - 2m + 4}{2m + 5n} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n} $.
Объединим в одну дробь и сократим:
$ \frac{(2m - 5n)(2m + 5n) \cdot (m^2 - 2m + 4) \cdot (m + 2)}{(m + 2)(m^2 - 2m + 4) \cdot (2m + 5n) \cdot (2m - 5n)} $.
После сокращения всех множителей получаем:
$ \frac{\cancel{(2m - 5n)}\cancel{(2m + 5n)} \cdot \cancel{(m^2 - 2m + 4)} \cdot \cancel{(m + 2)}}{\cancel{(m + 2)}\cancel{(m^2 - 2m + 4)} \cdot \cancel{(2m + 5n)} \cdot \cancel{(2m - 5n)}} = 1 $.
Значение выражения равно 1 при всех допустимых значениях переменных ($m \neq -2, 2m \neq \pm 5n$). Число 1 является целым, что и требовалось доказать.
Ответ: 1.