Страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.25. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения:

1) $\left( \frac{2xb}{x^2 - b^2} + \frac{x - b}{2x + 2b} \right) \cdot \left( \frac{2x}{x + b} + \frac{b}{b - x} \right)$

2) $\frac{y}{y - x} + \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2} \right)$ неотрицательно и не зависит от значения переменных.

1) Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x^2 - b^2 = (x - b)(x + b) \neq 0 \Rightarrow x \neq b$ и $x \neq -b$.

$2x + 2b = 2(x + b) \neq 0 \Rightarrow x \neq -b$.

$x + b \neq 0 \Rightarrow x \neq -b$.

$b - x \neq 0 \Rightarrow x \neq b$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm b$.

Теперь упростим выражение, выполняя действия по порядку.

1. Выполним действие в скобках:

$\frac{2xb}{x^2 - b^2} + \frac{x - b}{2x + 2b} = \frac{2xb}{(x - b)(x + b)} + \frac{x - b}{2(x + b)}$

Приводим дроби к общему знаменателю $2(x - b)(x + b)$:

$\frac{2xb \cdot 2 + (x - b)(x - b)}{2(x - b)(x + b)} = \frac{4xb + x^2 - 2xb + b^2}{2(x - b)(x + b)} = \frac{x^2 + 2xb + b^2}{2(x - b)(x + b)} = \frac{(x + b)^2}{2(x - b)(x + b)}$

Сокращаем дробь на $(x + b)$, так как в ОДЗ $x \neq -b$:

$\frac{x + b}{2(x - b)}$

2. Выполним умножение результата первого действия на следующую дробь:

$\frac{x + b}{2(x - b)} \cdot \frac{2x}{x + b}$

Сокращаем на $2$ и $(x + b)$:

$\frac{x}{x - b}$

3. Выполним сложение с последней дробью:

$\frac{x}{x - b} + \frac{b}{b - x} = \frac{x}{x - b} - \frac{b}{x - b} = \frac{x - b}{x - b}$

Так как по ОДЗ $x \neq b$, то $x - b \neq 0$, следовательно:

$\frac{x - b}{x - b} = 1$

Полученное значение равно 1, оно является константой и не зависит от значений переменных $x$ и $b$.

Ответ: значение выражения равно 1, следовательно, при всех допустимых значениях переменных оно не зависит от их значений.

2) Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$y - x \neq 0 \Rightarrow y \neq x$.

$x^2 + y^2 \neq 0$, что верно для любых действительных $x$ и $y$, не равных нулю одновременно. Если $x=y=0$, то нарушается первое условие $y \neq x$.

$(x - y)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq y$.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \neq 0 \Rightarrow x \neq y$ и $x \neq -y$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Теперь упростим выражение, выполняя действия по порядку.

1. Выполним действие в скобках:

$\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2} = \frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{(x - y)(x + y)}$

Приводим дроби к общему знаменателю $(x - y)^2(x + y)$:

$\frac{x(x + y) - y(x - y)}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2 + xy - yx + y^2}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)}$

2. Выполним умножение:

$\frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)}$

Разложим на множители числитель первой дроби: $x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$.

$\frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)}$

Сокращаем общие множители $(x^2 + y^2)$, $(x+y)$ и $(x-y)$ с учетом ОДЗ:

$\frac{x}{x - y}$

3. Выполним сложение с первой дробью выражения:

$\frac{y}{y - x} + \frac{x}{x - y} = -\frac{y}{x - y} + \frac{x}{x - y} = \frac{x - y}{x - y}$

Так как по ОДЗ $x \neq y$, то $x - y \neq 0$, следовательно:

$\frac{x - y}{x - y} = 1$

Полученное значение равно 1. Число 1 является неотрицательным ($1 \ge 0$) и не зависит от значений переменных $x$ и $y$.

Ответ: значение выражения равно 1, оно неотрицательно и не зависит от значений переменных.

41.26. Упростите выражения:

1) $ \frac{3 - \frac{2}{x}}{3 + \frac{2}{x}} $;

2) $ \frac{\frac{5n - b}{b} + 1}{\frac{15n + b}{b} - 1} $;

3) $ \frac{\frac{2x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{2y}{x^2}} $;

4) $ \frac{\frac{11}{a} + \frac{11}{b} + \frac{11}{c}}{\frac{12}{ab} + \frac{12}{bc} + \frac{12}{ac}} + \frac{1}{12} $.

1) Исходное выражение: $ \frac{3 - \frac{2}{x}}{3 + \frac{2}{x}} $.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю $x$.

Числитель: $ 3 - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x} - \frac{2}{x} = \frac{3x - 2}{x} $.

Знаменатель: $ 3 + \frac{2}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3x + 2}{x} $.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в основную дробь:

$ \frac{\frac{3x - 2}{x}}{\frac{3x + 2}{x}} $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{3x - 2}{x} \cdot \frac{x}{3x + 2} $.

Сокращаем $x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $ x \neq 0 $):

$ \frac{3x - 2}{3x + 2} $.

Ответ: $ \frac{3x - 2}{3x + 2} $.

2) Исходное выражение: $ \frac{\frac{5n - b}{b} + 1}{\frac{15n + b}{b} - 1} $.

Упростим числитель, приведя слагаемые к общему знаменателю $b$:

$ \frac{5n - b}{b} + 1 = \frac{5n - b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{5n - b + b}{b} = \frac{5n}{b} $.

Упростим знаменатель, также приведя слагаемые к общему знаменателю $b$:

$ \frac{15n + b}{b} - 1 = \frac{15n + b}{b} - \frac{b}{b} = \frac{15n + b - b}{b} = \frac{15n}{b} $.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\frac{5n}{b}}{\frac{15n}{b}} $.

Разделим дроби, умножив верхнюю на перевернутую нижнюю:

$ \frac{5n}{b} \cdot \frac{b}{15n} $.

Сокращаем общие множители $b$ и $n$ (при условии, что $ b \neq 0 $ и $ n \neq 0 $):

$ \frac{5n}{15n} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

3) Исходное выражение: $ \frac{\frac{2x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{2y}{x^2}} $.

Приведем слагаемые в числителе к общему знаменателю $x^2y^2$:

$ \frac{2x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{2x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{2x^3 + y^3}{x^2y^2} $.

Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю $x^2y^2$:

$ \frac{x}{y^2} - \frac{2y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{2y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3 - 2y^3}{x^2y^2} $.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\frac{2x^3 + y^3}{x^2y^2}}{\frac{x^3 - 2y^3}{x^2y^2}} $.

Разделим дроби, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:

$ \frac{2x^3 + y^3}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^2}{x^3 - 2y^3} $.

Сокращаем общий множитель $x^2y^2$ (при $ x \neq 0, y \neq 0 $):

$ \frac{2x^3 + y^3}{x^3 - 2y^3} $.

Ответ: $ \frac{2x^3 + y^3}{x^3 - 2y^3} $.

4) Исходное выражение: $ \frac{\frac{11}{a} + \frac{11}{b} + \frac{11}{c}}{\frac{12}{ab} + \frac{12}{bc} + \frac{12}{ac}} + \frac{1}{12} $.

Рассмотрим отдельно сложную дробь. Упростим ее числитель, приведя к общему знаменателю $abc$:

$ \frac{11}{a} + \frac{11}{b} + \frac{11}{c} = \frac{11bc}{abc} + \frac{11ac}{abc} + \frac{11ab}{abc} = \frac{11(ab + ac + bc)}{abc} $.

Упростим знаменатель сложной дроби, приведя к общему знаменателю $abc$:

$ \frac{12}{ab} + \frac{12}{bc} + \frac{12}{ac} = \frac{12c}{abc} + \frac{12a}{abc} + \frac{12b}{abc} = \frac{12(a + b + c)}{abc} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{11(ab + ac + bc)}{abc}}{\frac{12(a + b + c)}{abc}} = \frac{11(ab + ac + bc)}{abc} \cdot \frac{abc}{12(a + b + c)} = \frac{11(ab + ac + bc)}{12(a + b + c)} $.

Теперь добавим оставшийся член $ \frac{1}{12} $ к полученному выражению:

$ \frac{11(ab + ac + bc)}{12(a + b + c)} + \frac{1}{12} $.

Приведем к общему знаменателю $12(a + b + c)$ и сложим числители:

$ \frac{11(ab + ac + bc)}{12(a + b + c)} + \frac{a+b+c}{12(a + b + c)} = \frac{11ab + 11ac + 11bc + a + b + c}{12(a + b + c)} $.

Ответ: $ \frac{11ab + 11ac + 11bc + a + b + c}{12(a + b + c)} $.