Страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вычислите (1–5):

1) $0,7 \cdot 5^4 - 37,5$;

2) $-9^4 \cdot 2,1 + 13700,1$;

3) $6,3 - 10^3 \cdot 0,0073$;

4) $192 \cdot (-0,2)^3 - 0,112$;

5) $-240,02 + 7^4 \cdot 0,02$;

6) $10^4 \cdot 3,241 + 7590.$

1) Для вычисления значения выражения $0,7 \cdot 5^4 - 37,5$ следуем порядку действий.
Сначала выполняем возведение в степень:
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.
Затем выполняем умножение:
$0,7 \cdot 625 = 437,5$.
И в последнюю очередь выполняем вычитание:
$437,5 - 37,5 = 400$.
Ответ: 400.

2) Для вычисления значения выражения $-9^4 \cdot 2,1 + 13700,1$ следуем порядку действий.
Важно отметить, что знак минус не относится к основанию степени. Сначала возводим в степень число 9:
$9^4 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 81 = 6561$.
Выражение принимает вид: $-6561 \cdot 2,1 + 13700,1$.
Далее выполняем умножение:
$-6561 \cdot 2,1 = -13778,1$.
Наконец, выполняем сложение:
$-13778,1 + 13700,1 = -78$.
Ответ: -78.

3) Для вычисления значения выражения $6,3 - 10^3 \cdot 0,0073$ следуем порядку действий.
Сначала выполняем возведение в степень:
$10^3 = 1000$.
Затем выполняем умножение:
$1000 \cdot 0,0073 = 7,3$.
И в последнюю очередь выполняем вычитание:
$6,3 - 7,3 = -1$.
Ответ: -1.

4) Для вычисления значения выражения $192 \cdot (-0,2)^3 - 0,112$ следуем порядку действий.
Сначала выполняем возведение в степень:
$(-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008$.
Далее выполняем умножение:
$192 \cdot (-0,008) = -1,536$.
Наконец, выполняем вычитание:
$-1,536 - 0,112 = -1,648$.
Ответ: -1,648.

5) Для вычисления значения выражения $-240,02 + 7^4 \cdot 0,02$ следуем порядку действий.
Сначала выполняем возведение в степень:
$7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 49 = 2401$.
Далее выполняем умножение:
$2401 \cdot 0,02 = 48,02$.
Наконец, выполняем сложение:
$-240,02 + 48,02 = -192$.
Ответ: -192.

2. 1) $ \frac{4^8 \cdot 12^7 \cdot 9^3}{6^{12} \cdot 16^4} $;

2) $ \frac{21^8 \cdot 27^5 \cdot 49^6}{9^{11} \cdot 343^7} $;

3) $ \frac{25^{11} \cdot 81^4}{625^4 \cdot 15^5 \cdot 9^6} $;

4) $ \frac{32^9 \cdot 125^8}{8^{13} \cdot 10^7 \cdot 25^8} $.

1) Для решения данной задачи представим все основания степеней в виде произведения простых чисел и воспользуемся свойствами степеней.
Исходное выражение: $ \frac{4^8 \cdot 12^7 \cdot 9^3}{6^{12} \cdot 16^4} $.
Разложим основания на простые множители:
$ 4 = 2^2 $
$ 12 = 2^2 \cdot 3 $
$ 9 = 3^2 $
$ 6 = 2 \cdot 3 $
$ 16 = 2^4 $
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$ \frac{(2^2)^8 \cdot (2^2 \cdot 3)^7 \cdot (3^2)^3}{(2 \cdot 3)^{12} \cdot (2^4)^4} $
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$ \frac{2^{16} \cdot (2^2)^7 \cdot 3^7 \cdot 3^6}{2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 2^{16}} = \frac{2^{16} \cdot 2^{14} \cdot 3^7 \cdot 3^6}{2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 2^{16}} $
Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя и знаменателя:
$ \frac{2^{16+14} \cdot 3^{7+6}}{2^{12+16} \cdot 3^{12}} = \frac{2^{30} \cdot 3^{13}}{2^{28} \cdot 3^{12}} $
Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$ 2^{30-28} \cdot 3^{13-12} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 $.
Ответ: $12$.

2) Решим выражение $ \frac{21^8 \cdot 27^5 \cdot 49^6}{9^{11} \cdot 343^7} $.
Разложим основания на простые множители:
$ 21 = 3 \cdot 7 $
$ 27 = 3^3 $
$ 49 = 7^2 $
$ 9 = 3^2 $
$ 343 = 7^3 $
Подставим в выражение:
$ \frac{(3 \cdot 7)^8 \cdot (3^3)^5 \cdot (7^2)^6}{(3^2)^{11} \cdot (7^3)^7} $
Используем свойства степеней:
$ \frac{3^8 \cdot 7^8 \cdot 3^{15} \cdot 7^{12}}{3^{22} \cdot 7^{21}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе:
$ \frac{3^{8+15} \cdot 7^{8+12}}{3^{22} \cdot 7^{21}} = \frac{3^{23} \cdot 7^{20}}{3^{22} \cdot 7^{21}} $
Выполним деление степеней:
$ 3^{23-22} \cdot 7^{20-21} = 3^1 \cdot 7^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7} $.
Ответ: $ \frac{3}{7} $.

3) Решим выражение $ \frac{25^{11} \cdot 81^4}{625^4 \cdot 15^5 \cdot 9^6} $.
Разложим основания на простые множители:
$ 25 = 5^2 $
$ 81 = 3^4 $
$ 625 = 5^4 $
$ 15 = 3 \cdot 5 $
$ 9 = 3^2 $
Подставим в выражение:
$ \frac{(5^2)^{11} \cdot (3^4)^4}{(5^4)^4 \cdot (3 \cdot 5)^5 \cdot (3^2)^6} $
Используем свойства степеней:
$ \frac{5^{22} \cdot 3^{16}}{5^{16} \cdot 3^5 \cdot 5^5 \cdot 3^{12}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в знаменателе:
$ \frac{5^{22} \cdot 3^{16}}{5^{16+5} \cdot 3^{5+12}} = \frac{5^{22} \cdot 3^{16}}{5^{21} \cdot 3^{17}} $
Выполним деление степеней:
$ 5^{22-21} \cdot 3^{16-17} = 5^1 \cdot 3^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} $.
Ответ: $ \frac{5}{3} $.

4) Решим выражение $ \frac{32^9 \cdot 125^8}{8^{13} \cdot 10^7 \cdot 25^8} $.
Разложим основания на простые множители:
$ 32 = 2^5 $
$ 125 = 5^3 $
$ 8 = 2^3 $
$ 10 = 2 \cdot 5 $
$ 25 = 5^2 $
Подставим в выражение:
$ \frac{(2^5)^9 \cdot (5^3)^8}{(2^3)^{13} \cdot (2 \cdot 5)^7 \cdot (5^2)^8} $
Используем свойства степеней:
$ \frac{2^{45} \cdot 5^{24}}{2^{39} \cdot 2^7 \cdot 5^7 \cdot 5^{16}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в знаменателе:
$ \frac{2^{45} \cdot 5^{24}}{2^{39+7} \cdot 5^{7+16}} = \frac{2^{45} \cdot 5^{24}}{2^{46} \cdot 5^{23}} $
Выполним деление степеней:
$ 2^{45-46} \cdot 5^{24-23} = 2^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} $.
Ответ: $ \frac{5}{2} $.

3.

1)

$10^4 - 9^5 - 951$;

2)

$15^4 + 14^4 - 9041$;

3)

$6^5 + 5^6 + 7719$;

4)

$-7^4 + 8^4 + 305$.

1) $10^4 - 9^5 - 951$

Для решения данного примера необходимо последовательно выполнить все арифметические операции, соблюдая их порядок. Сначала возведем числа в степень:

$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$

$9^5 = 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 59049$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычитание:

$10000 - 59049 - 951 = -49049 - 951 = -50000$

Ответ: $-50000$

2) $15^4 + 14^4 - 9041$

Сначала вычислим значения степеней:

$15^4 = (15^2)^2 = 225^2 = 50625$

$14^4 = (14^2)^2 = 196^2 = 38416$

Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

$50625 + 38416 - 9041 = 89041 - 9041 = 80000$

Ответ: $80000$

3) $6^5 + 5^6 + 7719$

Вычислим значения степеней:

$6^5 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 7776$

$5^6 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 15625$

Подставим значения в выражение и выполним сложение:

$7776 + 15625 + 7719 = 23401 + 7719 = 31120$

Ответ: $31120$

4) $-7^4 + 8^4 + 305$

Сначала вычислим степени. Важно отметить, что унарный минус не возводится в степень, поэтому сначала вычисляем $7^4$, а затем применяем знак минус.

$7^4 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 49^2 = 2401$

$8^4 = 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 64^2 = 4096$

Подставим значения в выражение и выполним действия:

$-2401 + 4096 + 305 = 1695 + 305 = 2000$

Ответ: $2000$

4. 1) $\frac{8^3 \cdot (11^3)^5}{121^7 \cdot 4^{19}};$

2) $\frac{81^{10} \cdot 169^5}{(13^3)^3 \cdot 27^{13}};$

3) $\frac{49^{25} \cdot 625^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3};$

4) $\frac{216^8 \cdot 125^7}{625^5 \cdot (6^5)^4};$

5) $\frac{(\frac{1}{2})^2 \cdot 32^2 \cdot 1000 \cdot 5^3}{4^7 \cdot 0.001 \cdot 25^4};$

6) $\frac{(\frac{1}{3})^4 \cdot 9^2 + (\frac{1}{4})^3 \cdot 2^6}{(\frac{1}{11})^2 \cdot 363 - (\frac{1}{12})^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4}.$

1) Для упрощения выражения представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $8 = 2^3$, $121 = 11^2$, $4 = 2^2$. Подставим эти значения в исходное выражение: $\frac{8^3 \cdot (11^3)^5}{121^7 \cdot 4^{19}} = \frac{(2^3)^3 \cdot (11^3)^5}{(11^2)^7 \cdot (2^2)^{19}}$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{2^{3 \cdot 3} \cdot 11^{3 \cdot 5}}{11^{2 \cdot 7} \cdot 2^{2 \cdot 19}} = \frac{2^9 \cdot 11^{15}}{11^{14} \cdot 2^{38}}$.
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $2^{9-38} \cdot 11^{15-14} = 2^{-29} \cdot 11^1 = \frac{11}{2^{29}}$.
Ответ: $\frac{11}{2^{29}}$.

2) Представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $81 = 3^4$, $169 = 13^2$, $27 = 3^3$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{81^{10} \cdot 169^5}{(13^3)^3 \cdot 27^{13}} = \frac{(3^4)^{10} \cdot (13^2)^5}{(13^3)^3 \cdot (3^3)^{13}}$.
Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{3^{4 \cdot 10} \cdot 13^{2 \cdot 5}}{13^{3 \cdot 3} \cdot 3^{3 \cdot 13}} = \frac{3^{40} \cdot 13^{10}}{13^9 \cdot 3^{39}}$.
Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $3^{40-39} \cdot 13^{10-9} = 3^1 \cdot 13^1 = 39$.
Ответ: $39$.

3) Представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $49 = 7^2$, $625 = 5^4$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{49^{25} \cdot 625^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3} = \frac{(7^2)^{25} \cdot (5^4)^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3}$.
Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{7^{2 \cdot 25} \cdot 5^{4 \cdot 15}}{5^{12 \cdot 5} \cdot 7^{16 \cdot 3}} = \frac{7^{50} \cdot 5^{60}}{5^{60} \cdot 7^{48}}$.
Сгруппируем степени и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $7^{50-48} \cdot 5^{60-60} = 7^2 \cdot 5^0 = 49 \cdot 1 = 49$.
Ответ: $49$.

4) Представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $216 = 6^3$, $125 = 5^3$, $625 = 5^4$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{216^8 \cdot 125^7}{625^5 \cdot (6^5)^4} = \frac{(6^3)^8 \cdot (5^3)^7}{(5^4)^5 \cdot (6^5)^4}$.
Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{6^{3 \cdot 8} \cdot 5^{3 \cdot 7}}{5^{4 \cdot 5} \cdot 6^{5 \cdot 4}} = \frac{6^{24} \cdot 5^{21}}{5^{20} \cdot 6^{20}}$.
Сгруппируем степени и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $6^{24-20} \cdot 5^{21-20} = 6^4 \cdot 5^1 = 1296 \cdot 5 = 6480$.
Ответ: $6480$.

5) Преобразуем все числа в выражении к степеням простых чисел и десяти: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, $32 = 2^5$, $1000 = 10^3$, $4 = 2^2$, $0.001 = 10^{-3}$, $25 = 5^2$.
Выражение примет вид: $\frac{(\frac{1}{2})^2 \cdot 32^2 \cdot 1000 \cdot 5^3}{4^7 \cdot 0,001 \cdot 25^4} = \frac{(2^{-1})^2 \cdot (2^5)^2 \cdot 10^3 \cdot 5^3}{(2^2)^7 \cdot 10^{-3} \cdot (5^2)^4} = \frac{2^{-2} \cdot 2^{10} \cdot 10^3 \cdot 5^3}{2^{14} \cdot 10^{-3} \cdot 5^8}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $(\frac{2^{-2} \cdot 2^{10}}{2^{14}}) \cdot (\frac{5^3}{5^8}) \cdot (\frac{10^3}{10^{-3}})$.
Применим свойства степеней: $2^{-2+10-14} \cdot 5^{3-8} \cdot 10^{3-(-3)} = 2^{-6} \cdot 5^{-5} \cdot 10^6$.
Так как $10 = 2 \cdot 5$, то $10^6 = (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6$. Подставим это в выражение: $2^{-6} \cdot 5^{-5} \cdot 2^6 \cdot 5^6 = (2^{-6} \cdot 2^6) \cdot (5^{-5} \cdot 5^6) = 2^{-6+6} \cdot 5^{-5+6} = 2^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5$.
Ответ: $5$.

6) Данное выражение является дробью. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $(\frac{1}{3})^4 \cdot 9^2 + (\frac{1}{4})^3 \cdot 2^6$. Упростим первое слагаемое: $(\frac{1}{3})^4 \cdot 9^2 = (3^{-1})^4 \cdot (3^2)^2 = 3^{-4} \cdot 3^4 = 3^{-4+4} = 3^0 = 1$. Упростим второе слагаемое: $(\frac{1}{4})^3 \cdot 2^6 = (\frac{1}{2^2})^3 \cdot 2^6 = (2^{-2})^3 \cdot 2^6 = 2^{-6} \cdot 2^6 = 2^{-6+6} = 2^0 = 1$. Значение числителя: $1 + 1 = 2$.
Знаменатель: $(\frac{1}{11})^2 \cdot 363 - (\frac{1}{12})^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4$. Упростим первое слагаемое: $(\frac{1}{11})^2 \cdot 363 = \frac{1}{121} \cdot 363 = \frac{363}{121} = 3$. Упростим второе слагаемое: $(\frac{1}{12})^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4 = \frac{1}{(3 \cdot 2^2)^2} \cdot 3^2 \cdot 2^4 = \frac{1}{3^2 \cdot 2^4} \cdot 3^2 \cdot 2^4 = 1$. Значение знаменателя: $3 - 1 = 2$.
Теперь найдем значение всей дроби: $\frac{Числитель}{Знаменатель} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $1$.

5. 1) $\frac{27^2 - 17^2}{16^2 - 6^2}$;

2) $\frac{48^2 - 18^2}{35^2 - 15^2}$;

3) $\frac{87^2 - 43^2}{31^2 - 16^2}$;

4) $\frac{98^2 - 58^2}{75^2 - 35^2}$;

5) $\frac{123^3 + 73^3}{196} - 123 \cdot 73$;

6) $\frac{186^3 - 34^3}{152} + 186 \cdot 34.$

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $27^2 - 17^2 = (27 - 17)(27 + 17) = 10 \cdot 44 = 440$.

Знаменатель: $16^2 - 6^2 = (16 - 6)(16 + 6) = 10 \cdot 22 = 220$.

Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя:

$\frac{27^2 - 17^2}{16^2 - 6^2} = \frac{(27 - 17)(27 + 17)}{(16 - 6)(16 + 6)} = \frac{10 \cdot 44}{10 \cdot 22} = \frac{44}{22} = 2$.

Ответ: 2

2) Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $48^2 - 18^2 = (48 - 18)(48 + 18) = 30 \cdot 66 = 1980$.

Знаменатель: $35^2 - 15^2 = (35 - 15)(35 + 15) = 20 \cdot 50 = 1000$.

Вычислим значение дроби:

$\frac{48^2 - 18^2}{35^2 - 15^2} = \frac{1980}{1000} = 1,98$.

Ответ: 1,98

3) Снова применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $87^2 - 43^2 = (87 - 43)(87 + 43) = 44 \cdot 130 = 5720$.

Знаменатель: $31^2 - 16^2 = (31 - 16)(31 + 16) = 15 \cdot 47 = 705$.

Теперь разделим числитель на знаменатель и сократим полученную дробь:

$\frac{5720}{705} = \frac{5 \cdot 1144}{5 \cdot 141} = \frac{1144}{141}$.

Дальнейшее сокращение невозможно, так как $141 = 3 \cdot 47$, а $1144$ не делится ни на 3, ни на 47.

Ответ: $\frac{1144}{141}$

4) Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $98^2 - 58^2 = (98 - 58)(98 + 58) = 40 \cdot 156$.

Знаменатель: $75^2 - 35^2 = (75 - 35)(75 + 35) = 40 \cdot 110$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{40 \cdot 156}{40 \cdot 110} = \frac{156}{110}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$\frac{156}{110} = \frac{78}{55}$.

Ответ: $\frac{78}{55}$

5) В этом примере мы используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = 123$ и $b = 73$. Заметим, что знаменатель $196 = 123 + 73 = a + b$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{123^3 + 73^3}{196} - 123 \cdot 73 = \frac{(123+73)(123^2 - 123 \cdot 73 + 73^2)}{123+73} - 123 \cdot 73$.

Сокращаем дробь на $(123+73)$ и получаем:

$(123^2 - 123 \cdot 73 + 73^2) - 123 \cdot 73 = 123^2 - 2 \cdot 123 \cdot 73 + 73^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(123 - 73)^2 = 50^2 = 2500$.

Ответ: 2500

6) Здесь мы используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Пусть $a = 186$ и $b = 34$. Заметим, что знаменатель $152 = 186 - 34 = a - b$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{186^3 - 34^3}{152} + 186 \cdot 34 = \frac{(186-34)(186^2 + 186 \cdot 34 + 34^2)}{186-34} + 186 \cdot 34$.

Сокращаем дробь на $(186-34)$ и получаем:

$(186^2 + 186 \cdot 34 + 34^2) + 186 \cdot 34 = 186^2 + 2 \cdot 186 \cdot 34 + 34^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(186 + 34)^2 = 220^2 = 48400$.

Ответ: 48400

6. Выполните действия:

1) $243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 - 8,75 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot 0,25 + 0,12;$

2) $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 2,45 - \left(34 - 3\frac{5}{14}\right) + 0,05 \cdot 2^8;$

3) $6,25 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 - 0,024 \cdot 9^3 + 1,552;$

4) $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot 0,5 \cdot \left(3\frac{2}{3}\right)^3 + \left(1\frac{1}{3}\right)^4 : 85\frac{1}{3}.$

1) $243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 - 8,75 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot 0,25 + 0,12$
Решим пример по действиям. Для удобства вычислений будем переводить десятичные дроби в обыкновенные.
1. Вычислим первое произведение: $243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6$. Заметим, что $243 = 3^5$.
$243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 = 3^5 \cdot \frac{2^6}{3^6} = \frac{2^6}{3} = \frac{64}{3}$.
2. Вычислим второе произведение: $8,75 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot 0,25$.
Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $8,75 = 8\frac{75}{100} = 8\frac{3}{4} = \frac{35}{4}$; $0,25 = \frac{1}{4}$.
$\frac{35}{4} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{35}{4} \cdot \frac{4^3}{5^3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{35 \cdot 4^3}{4 \cdot 5^3 \cdot 4} = \frac{35 \cdot 4^2}{4 \cdot 5^3} = \frac{35 \cdot 16}{4 \cdot 125} = \frac{35 \cdot 4}{125} = \frac{140}{125} = \frac{28}{25}$.
3. Теперь соберем все части выражения вместе. Переведем $0,12$ в обыкновенную дробь: $0,12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$.
$\frac{64}{3} - \frac{28}{25} + \frac{3}{25} = \frac{64}{3} - \left(\frac{28}{25} - \frac{3}{25}\right) = \frac{64}{3} - \frac{25}{25} = \frac{64}{3} - 1 = \frac{64}{3} - \frac{3}{3} = \frac{61}{3} = 20\frac{1}{3}$.
Ответ: $20\frac{1}{3}$.

2) $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 2,45 - \left(34 - 3\frac{5}{14}\right) + 0,05 \cdot 2^8$
Решим по действиям.
1. $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 2,45 = \frac{36}{49} \cdot 2\frac{45}{100} = \frac{36}{49} \cdot 2\frac{9}{20} = \frac{36}{49} \cdot \frac{49}{20} = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} = 1,8$.
2. $34 - 3\frac{5}{14} = 33\frac{14}{14} - 3\frac{5}{14} = 30\frac{9}{14}$.
3. $0,05 \cdot 2^8 = \frac{5}{100} \cdot 256 = \frac{1}{20} \cdot 256 = \frac{256}{20} = \frac{64}{5} = 12,8$.
4. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$1,8 - 30\frac{9}{14} + 12,8 = (1,8 + 12,8) - 30\frac{9}{14} = 14,6 - 30\frac{9}{14}$.
Переведем $14,6$ в смешанную дробь: $14,6 = 14\frac{6}{10} = 14\frac{3}{5}$.
$14\frac{3}{5} - 30\frac{9}{14}$. Приведем дроби к общему знаменателю 70:
$14\frac{3 \cdot 14}{5 \cdot 14} - 30\frac{9 \cdot 5}{14 \cdot 5} = 14\frac{42}{70} - 30\frac{45}{70} = -(30\frac{45}{70} - 14\frac{42}{70}) = -16\frac{3}{70}$.
Ответ: $-16\frac{3}{70}$.

3) $6,25 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 - 0,024 \cdot 9^3 + 1,552$
Решим по действиям, используя десятичные дроби, где это возможно.
1. $6,25 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 = 6,25 \cdot (0,8)^5 = 6,25 \cdot 0,32768$. Проще в обыкновенных дробях:
$6,25 = 6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$.
$\frac{25}{4} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 = \frac{5^2}{2^2} \cdot \frac{4^5}{5^5} = \frac{5^2}{2^2} \cdot \frac{(2^2)^5}{5^5} = \frac{5^2 \cdot 2^{10}}{2^2 \cdot 5^5} = \frac{2^8}{5^3} = \frac{256}{125} = 2,048$.
2. $0,024 \cdot 9^3 = 0,024 \cdot 729 = 17,496$.
3. Подставим полученные значения в выражение:
$2,048 - 17,496 + 1,552 = (2,048 + 1,552) - 17,496 = 3,6 - 17,496 = -13,896$.
Ответ: $-13,896$.

4) $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot 0,5 \cdot \left(3\frac{2}{3}\right)^3 + \left(1\frac{1}{3}\right)^4 : 85\frac{1}{3}$
Решим по частям. Сначала выполним умножения и деление, затем сложение.
1. Вычислим первое слагаемое: $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot 0,5 \cdot \left(3\frac{2}{3}\right)^3$.
Переведем все в обыкновенные дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$; $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$.
$\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{11}{3}\right)^3 = \frac{8^2}{11^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{11^3}{3^3} = \frac{64}{121} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1331}{27}$.
Сократим степени числа 11 ($121=11^2$, $1331=11^3$) и 64 с 2:
$\frac{64 \cdot 11}{2 \cdot 27} = \frac{32 \cdot 11}{27} = \frac{352}{27}$.
2. Вычислим второе слагаемое: $\left(1\frac{1}{3}\right)^4 : 85\frac{1}{3}$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$; $85\frac{1}{3} = \frac{85 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{256}{3}$.
$\left(\frac{4}{3}\right)^4 : \frac{256}{3} = \frac{4^4}{3^4} : \frac{256}{3} = \frac{256}{81} \cdot \frac{3}{256} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$.
3. Сложим результаты:
$\frac{352}{27} + \frac{1}{27} = \frac{353}{27}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $353 : 27 = 13$ (остаток $2$), т.е. $13\frac{2}{27}$.
Ответ: $13\frac{2}{27}$.