Страница 271 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Найдите $a\%$ от числа $b$, если:

1) $b = 2^5 \cdot 5^2 + 200$ и $a = 11$;

2) $b = (-3)^3 \cdot 4^4 + 6962$ и $a = 5$;

3) $b = (0,5)^4 \cdot 2^8 + 18^4$ и $a = 13,5$;

4) $b = 0,2^8 \cdot 5^{10} + 6^2$ и $a = 50$.

1) Сначала найдем значение $b$ по формуле $b = 2^5 \cdot 5^2 + 200$. Вычислим значения степеней: $2^5 = 32$ и $5^2 = 25$. Подставим их в формулу: $b = 32 \cdot 25 + 200 = 800 + 200 = 1000$. Теперь необходимо найти $a\%$ от числа $b$, где $a = 11$. Это значит, что нам нужно найти $11\%$ от $1000$. Для нахождения процента от числа используется формула: $\frac{\text{число} \cdot \text{процент}}{100}$. Применяем ее: $\frac{1000 \cdot 11}{100} = 10 \cdot 11 = 110$.
Ответ: $110$

2) Сначала найдем значение $b$ по формуле $b = (-3)^3 \cdot 4^4 + 6962$. Вычислим значения степеней: $(-3)^3 = -27$ и $4^4 = 256$. Подставим их в формулу: $b = -27 \cdot 256 + 6962 = -6912 + 6962 = 50$. Теперь необходимо найти $a\%$ от числа $b$, где $a = 5$. Это значит, что нам нужно найти $5\%$ от $50$. Применяем формулу для нахождения процента: $\frac{50 \cdot 5}{100} = \frac{250}{100} = 2,5$.
Ответ: $2,5$

3) Сначала найдем значение $b$ по формуле $b = (0,5)^4 \cdot 2^8 + 18^4$. Упростим первое слагаемое, используя свойства степеней. Так как $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, то $(0,5)^4 \cdot 2^8 = (2^{-1})^4 \cdot 2^8 = 2^{-4} \cdot 2^8 = 2^{8-4} = 2^4 = 16$. Вычислим второе слагаемое: $18^4 = 104976$. Теперь найдем $b$: $b = 16 + 104976 = 104992$. Теперь необходимо найти $a\%$ от числа $b$, где $a = 13,5$. Это значит, что нам нужно найти $13,5\%$ от $104992$. Применяем формулу: $\frac{104992 \cdot 13,5}{100} = \frac{1417392}{100} = 14173,92$.
Ответ: $14173,92$

4) Сначала найдем значение $b$ по формуле $b = 0,2^8 \cdot 5^{10} + 6^2$. Упростим первое слагаемое. Так как $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $0,2^8 \cdot 5^{10} = (5^{-1})^8 \cdot 5^{10} = 5^{-8} \cdot 5^{10} = 5^{10-8} = 5^2 = 25$. Вычислим второе слагаемое: $6^2 = 36$. Теперь найдем $b$: $b = 25 + 36 = 61$. Теперь необходимо найти $a\%$ от числа $b$, где $a = 50$. Это значит, что нам нужно найти $50\%$ от $61$. $50\%$ — это половина числа. $\frac{61 \cdot 50}{100} = \frac{61}{2} = 30,5$.
Ответ: $30,5$

8. Найдите значение выражения:

1) $5a^4 - 7b^5 + 11c^3$ при $a = 2, b = -1, c = -1$;

2) $1.2x^5 + 3.9y^4 - 6c^4$ при $x = -1, y = 2, c = -2$;

3) $0.005n^3 + 0.023m^3$ при $n = -10, m = 10$;

4) $64t^6 - 27s^3 + 125k^3$ при $t = -\frac{1}{2}, s = \frac{1}{3}, k = -\frac{1}{5}$.

1) Чтобы найти значение выражения $5a^4 - 7b^5 + 11c^3$ при $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$, подставим данные значения в выражение.

$5 \cdot (2)^4 - 7 \cdot (-1)^5 + 11 \cdot (-1)^3$

Сначала вычислим значения степеней:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

$(-1)^5 = -1$ (так как степень нечетная)

$(-1)^3 = -1$ (так как степень нечетная)

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$5 \cdot 16 - 7 \cdot (-1) + 11 \cdot (-1)$

Выполним операции умножения:

$80 - (-7) + (-11)$

Раскроем скобки и выполним сложение и вычитание:

$80 + 7 - 11 = 87 - 11 = 76$

Ответ: 76

2) Чтобы найти значение выражения $1,2x^5 + 3,9y^4 - 6c^4$ при $x = -1$, $y = 2$, $c = -2$, подставим данные значения.

$1,2 \cdot (-1)^5 + 3,9 \cdot (2)^4 - 6 \cdot (-2)^4$

Вычислим значения степеней:

$(-1)^5 = -1$

$2^4 = 16$

$(-2)^4 = 16$ (так как степень четная, результат положительный)

Подставим полученные значения в выражение:

$1,2 \cdot (-1) + 3,9 \cdot 16 - 6 \cdot 16$

Выполним операции умножения:

$-1,2 + 62,4 - 96$

Выполним сложение и вычитание в порядке их следования:

$61,2 - 96 = -34,8$

Ответ: -34,8

3) Чтобы найти значение выражения $0,005n^3 + 0,023m^3$ при $n = -10$, $m = 10$, подставим данные значения.

$0,005 \cdot (-10)^3 + 0,023 \cdot (10)^3$

Вычислим значения степеней:

$(-10)^3 = -1000$

$10^3 = 1000$

Подставим полученные значения в выражение:

$0,005 \cdot (-1000) + 0,023 \cdot 1000$

Выполним операции умножения:

$-5 + 23$

Выполним сложение:

$18$

Ответ: 18

4) Чтобы найти значение выражения $64t^6 - 27s^3 + 125k^3$ при $t = -\frac{1}{2}$, $s = \frac{1}{3}$, $k = -\frac{1}{5}$, подставим данные значения.

$64 \cdot (-\frac{1}{2})^6 - 27 \cdot (\frac{1}{3})^3 + 125 \cdot (-\frac{1}{5})^3$

Вычислим значения степеней:

$(-\frac{1}{2})^6 = \frac{(-1)^6}{2^6} = \frac{1}{64}$

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$

$(-\frac{1}{5})^3 = \frac{(-1)^3}{5^3} = -\frac{1}{125}$

Подставим полученные значения в выражение:

$64 \cdot \frac{1}{64} - 27 \cdot \frac{1}{27} + 125 \cdot (-\frac{1}{125})$

Выполним операции умножения, сократив дроби:

$1 - 1 + (-1)$

Выполним вычитание:

$0 - 1 = -1$

Ответ: -1

9. Сравните значения выражений:

1) $7^3 \cdot (-2)^2$ и $10^3 + 7^3$;

2) $(-\frac{2}{9})^4 \cdot 0,729$ и $3^3 - 5^2 \cdot 1,01$;

3) $(-0,2)^3 \cdot 5^4$ и $6^4 : (11^3 - 35)$;

4) $4^5 : (2 \cdot 5^3)$ и $2^2 \cdot (0,9^2 + 0,14)$.

1) Сравним значения выражений $7^3 \cdot (-2)^2$ и $10^3 + 7^3$.

Сначала вычислим значение первого выражения:

$7^3 \cdot (-2)^2 = (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot ((-2) \cdot (-2)) = 343 \cdot 4 = 1372$.

Теперь вычислим значение второго выражения:

$10^3 + 7^3 = (10 \cdot 10 \cdot 10) + 343 = 1000 + 343 = 1343$.

Сравним полученные результаты:

$1372 > 1343$.

Следовательно, $7^3 \cdot (-2)^2 > 10^3 + 7^3$.

Ответ: $7^3 \cdot (-2)^2 > 10^3 + 7^3$.

2) Сравним значения выражений $(-\frac{2}{9})^4 \cdot 0,729$ и $3^3 - 5^2 \cdot 1,01$.

Вычислим значение первого выражения. Так как степень четная, отрицательное основание станет положительным. Представим $0,729$ в виде обыкновенной дроби и учтем, что $9^3 = 729$ и $9^4 = 6561$.

$(-\frac{2}{9})^4 \cdot 0,729 = \frac{2^4}{9^4} \cdot \frac{729}{1000} = \frac{16}{6561} \cdot \frac{729}{1000} = \frac{16}{9 \cdot 729} \cdot \frac{729}{1000} = \frac{16}{9000} = \frac{2}{1125}$.

Вычислим значение второго выражения:

$3^3 - 5^2 \cdot 1,01 = 27 - 25 \cdot 1,01 = 27 - 25,25 = 1,75$.

Сравним полученные результаты. Дробь $\frac{2}{1125}$ является положительным числом, но меньше 1, в то время как $1,75$ больше 1.

$\frac{2}{1125} < 1,75$.

Следовательно, $(-\frac{2}{9})^4 \cdot 0,729 < 3^3 - 5^2 \cdot 1,01$.

Ответ: $(-\frac{2}{9})^4 \cdot 0,729 < 3^3 - 5^2 \cdot 1,01$.

3) Сравним значения выражений $(-0,2)^3 \cdot 5^4$ и $6^4 : (11^3 - 35)$.

Вычислим значение первого выражения, используя свойства степеней:

$(-0,2)^3 \cdot 5^4 = (-0,2)^3 \cdot 5^3 \cdot 5^1 = (-0,2 \cdot 5)^3 \cdot 5 = (-1)^3 \cdot 5 = -1 \cdot 5 = -5$.

Вычислим значение второго выражения:

$11^3 = 11 \cdot 11 \cdot 11 = 121 \cdot 11 = 1331$.

$6^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 36 = 1296$.

$6^4 : (11^3 - 35) = 1296 : (1331 - 35) = 1296 : 1296 = 1$.

Сравним полученные результаты:

$-5 < 1$.

Следовательно, $(-0,2)^3 \cdot 5^4 < 6^4 : (11^3 - 35)$.

Ответ: $(-0,2)^3 \cdot 5^4 < 6^4 : (11^3 - 35)$.

4) Сравним значения выражений $4^5 : (2 \cdot 5^3)$ и $2^2 \cdot (0,9^2 + 0,14)$.

Вычислим значение первого выражения. Представим $4$ как $2^2$:

$4^5 : (2 \cdot 5^3) = (2^2)^5 : (2 \cdot 125) = 2^{10} : 250 = 1024 : 250 = 4,096$.

Другой способ: $\frac{4^5}{2 \cdot 5^3} = \frac{(2^2)^5}{2 \cdot 5^3} = \frac{2^{10}}{2 \cdot 5^3} = \frac{2^9}{5^3} = \frac{512}{125} = 4,096$.

Вычислим значение второго выражения:

$2^2 \cdot (0,9^2 + 0,14) = 4 \cdot (0,81 + 0,14) = 4 \cdot 0,95 = 3,8$.

Сравним полученные результаты:

$4,096 > 3,8$.

Следовательно, $4^5 : (2 \cdot 5^3) > 2^2 \cdot (0,9^2 + 0,14)$.

Ответ: $4^5 : (2 \cdot 5^3) > 2^2 \cdot (0,9^2 + 0,14)$.

10. Используя свойства степеней, сравните значения выражений:

1) $40^{20}$ и $20^{40}$;

2) $25^5$ и $125^8$;

3) $16^5$ и $64^3$;

4) $72^{10}$ и $32 \cdot 12^{10}$.

1) Чтобы сравнить значения выражений $40^{20}$ и $20^{40}$, приведем их к общему показателю степени. Показатели степеней — 20 и 40. Мы можем привести второе выражение к степени с показателем 20.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Представим $20^{40}$ следующим образом:

$20^{40} = 20^{2 \cdot 20} = (20^2)^{20} = 400^{20}$

Теперь нам нужно сравнить $40^{20}$ и $400^{20}$. Поскольку показатели степеней одинаковы (равны 20), мы можем сравнить основания.

Так как $40 < 400$, то и $40^{20} < 400^{20}$.

Следовательно, $40^{20} < 20^{40}$.

Ответ: $40^{20} < 20^{40}$.

2) Чтобы сравнить $25^5$ и $125^8$, приведем оба выражения к общему основанию. Заметим, что и 25, и 125 являются степенями числа 5:

$25 = 5^2$

$125 = 5^3$

Теперь подставим эти значения в исходные выражения, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$25^5 = (5^2)^5 = 5^{2 \cdot 5} = 5^{10}$

$125^8 = (5^3)^8 = 5^{3 \cdot 8} = 5^{24}$

Теперь сравним $5^{10}$ и $5^{24}$. Поскольку основания одинаковы (равны 5) и больше 1, то больше то число, у которого больше показатель степени.

Так как $10 < 24$, то $5^{10} < 5^{24}$.

Следовательно, $25^5 < 125^8$.

Ответ: $25^5 < 125^8$.

3) Чтобы сравнить $16^5$ и $64^3$, приведем их к общему основанию. Основания 16 и 64 являются степенями числа 2 (или 4). Приведем их к основанию 2:

$16 = 2^4$

$64 = 2^6$

Преобразуем выражения:

$16^5 = (2^4)^5 = 2^{4 \cdot 5} = 2^{20}$

$64^3 = (2^6)^3 = 2^{6 \cdot 3} = 2^{18}$

Теперь сравним $2^{20}$ и $2^{18}$. Основания одинаковы и больше 1, поэтому сравниваем показатели.

Так как $20 > 18$, то $2^{20} > 2^{18}$.

Следовательно, $16^5 > 64^3$.

Ответ: $16^5 > 64^3$.

4) Чтобы сравнить $72^{10}$ и $32 \cdot 12^{10}$, преобразуем первое выражение. Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$.

Разложим основание 72 на множители так, чтобы одним из них было число 12:

$72 = 6 \cdot 12$

Тогда первое выражение можно записать как:

$72^{10} = (6 \cdot 12)^{10} = 6^{10} \cdot 12^{10}$

Теперь сравнение выглядит так: $6^{10} \cdot 12^{10}$ и $32 \cdot 12^{10}$.

Поскольку $12^{10}$ является общим положительным множителем, мы можем его не учитывать и сравнить только $6^{10}$ и $32$.

Вычислим вторую степень числа 6: $6^2 = 36$.

Так как $36 > 32$, то, очевидно, $6^{10}$ (которое равно $6^2 \cdot 6^8$) будет намного больше, чем 32.

Поскольку $6^{10} > 32$, то и $6^{10} \cdot 12^{10} > 32 \cdot 12^{10}$.

Следовательно, $72^{10} > 32 \cdot 12^{10}$.

Ответ: $72^{10} > 32 \cdot 12^{10}$.

Упростите выражения (11–12):

11.

1) $(a - 5)^2 + (a + 7)(5 - a) + 8a;$

2) $-73 + (6 + a)^2 + (9 - a)(a + 4);$

3) $(3a - 4)(9a + 8) - (2 - 27a)(16 - a).$

1) Для упрощения выражения $(a - 5)^2 + (a + 7)(5 - a) + 8a$ выполним следующие действия:
1. Раскроем квадрат разности $(a - 5)^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a - 5)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 - 10a + 25$
2. Раскроем скобки в произведении $(a + 7)(5 - a)$:
$(a + 7)(5 - a) = a \cdot 5 + a \cdot (-a) + 7 \cdot 5 + 7 \cdot (-a) = 5a - a^2 + 35 - 7a$
Приведем подобные слагаемые в этом произведении: $5a - 7a = -2a$. Получим $-a^2 - 2a + 35$.
3. Подставим полученные выражения в исходное и прибавим $8a$:
$(a^2 - 10a + 25) + (-a^2 - 2a + 35) + 8a$
4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-10a - 2a + 8a) + (25 + 35) = 0a^2 - 4a + 60 = -4a + 60$
Ответ: $-4a + 60$.

2) Для упрощения выражения $-73 + (6 + a)^2 + (9 - a)(a + 4)$ выполним следующие действия:
1. Раскроем квадрат суммы $(6 + a)^2$ по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(6 + a)^2 = 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot a + a^2 = 36 + 12a + a^2$
2. Раскроем скобки в произведении $(9 - a)(a + 4)$:
$(9 - a)(a + 4) = 9 \cdot a + 9 \cdot 4 - a \cdot a - a \cdot 4 = 9a + 36 - a^2 - 4a$
Приведем подобные слагаемые в этом произведении: $9a - 4a = 5a$. Получим $-a^2 + 5a + 36$.
3. Подставим полученные выражения в исходное:
$-73 + (36 + 12a + a^2) + (-a^2 + 5a + 36)$
4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (12a + 5a) + (-73 + 36 + 36) = 0a^2 + 17a - 1 = 17a - 1$
Ответ: $17a - 1$.

3) Для упрощения выражения $(3a - 4)(9a + 8) - (2 - 27a)(16 - a)$ выполним следующие действия:
1. Раскроем скобки в первом произведении $(3a - 4)(9a + 8)$:
$(3a - 4)(9a + 8) = 3a \cdot 9a + 3a \cdot 8 - 4 \cdot 9a - 4 \cdot 8 = 27a^2 + 24a - 36a - 32$
Приведем подобные слагаемые: $24a - 36a = -12a$. Получим $27a^2 - 12a - 32$.
2. Раскроем скобки во втором произведении $(2 - 27a)(16 - a)$:
$(2 - 27a)(16 - a) = 2 \cdot 16 + 2 \cdot (-a) - 27a \cdot 16 - 27a \cdot (-a) = 32 - 2a - 432a + 27a^2$
Приведем подобные слагаемые: $-2a - 432a = -434a$. Получим $27a^2 - 434a + 32$.
3. Подставим полученные выражения в исходное. Обратим внимание на знак минус перед вторыми скобками, который изменит все знаки внутри них на противоположные:
$(27a^2 - 12a - 32) - (27a^2 - 434a + 32) = 27a^2 - 12a - 32 - 27a^2 + 434a - 32$
4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(27a^2 - 27a^2) + (-12a + 434a) + (-32 - 32) = 0a^2 + 422a - 64 = 422a - 64$
Ответ: $422a - 64$.

12. 1) $(a^2 - 5)(3 + 2a) - 2a(a^2 + 4);$

2) $(2 - 3a)^3 - 4(2 - 9a) + 26a^3;$

3) $(4 + a)^3 - (a - 4)^3 - 36(2a^2 + 3).$

1) Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Сначала выполним умножение многочленов:

$(a^2 - 5)(3 + 2a) = a^2 \cdot 3 + a^2 \cdot 2a - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 2a = 3a^2 + 2a^3 - 15 - 10a$.

Затем раскроем вторые скобки:

$-2a(a^2 + 4) = -2a \cdot a^2 - 2a \cdot 4 = -2a^3 - 8a$.

Теперь объединим полученные выражения:

$(3a^2 + 2a^3 - 15 - 10a) + (-2a^3 - 8a) = 3a^2 + 2a^3 - 15 - 10a - 2a^3 - 8a$.

Приведем подобные слагаемые:

$(2a^3 - 2a^3) + 3a^2 + (-10a - 8a) - 15 = 0 + 3a^2 - 18a - 15 = 3a^2 - 18a - 15$.

Ответ: $3a^2 - 18a - 15$.

2) Упростим выражение, используя формулу сокращенного умножения для куба разности и раскрыв скобки.

Воспользуемся формулой куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$:

$(2 - 3a)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (3a) + 3 \cdot 2 \cdot (3a)^2 - (3a)^3 = 8 - 3 \cdot 4 \cdot 3a + 6 \cdot 9a^2 - 27a^3 = 8 - 36a + 54a^2 - 27a^3$.

Раскроем скобки во втором члене выражения:

$-4(2 - 9a) = -8 + 36a$.

Подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые:

$(8 - 36a + 54a^2 - 27a^3) - 8 + 36a + 26a^3 = (-27a^3 + 26a^3) + 54a^2 + (-36a + 36a) + (8 - 8) = -a^3 + 54a^2$.

Ответ: $-a^3 + 54a^2$.

3) Упростим выражение, используя формулы куба суммы и куба разности.

Раскроем первый куб по формуле $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$:

$(4 + a)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot a + 3 \cdot 4 \cdot a^2 + a^3 = 64 + 48a + 12a^2 + a^3$.

Раскроем второй куб по формуле $(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$:

$(a - 4)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 - 4^3 = a^3 - 12a^2 + 48a - 64$.

Раскроем последние скобки:

$-36(2a^2 + 3) = -72a^2 - 108$.

Теперь подставим все части в исходное выражение:

$(64 + 48a + 12a^2 + a^3) - (a^3 - 12a^2 + 48a - 64) - 72a^2 - 108$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$64 + 48a + 12a^2 + a^3 - a^3 + 12a^2 - 48a + 64 - 72a^2 - 108 = (a^3 - a^3) + (12a^2 + 12a^2 - 72a^2) + (48a - 48a) + (64 + 64 - 108) = -48a^2 + 20$.

Ответ: $-48a^2 + 20$.

13. Для каких значений переменной x является тождеством равенство:

1) $(4m + x)^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2;$

2) $(2a - x)^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2;$

3) $(x + 9n)^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2;$

4) $(x - 6b)^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2?$

1) Чтобы равенство $(4m + x)^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2$ было тождеством, нужно найти такое значение $x$, при котором левая и правая части уравнения будут равны для любых значений $m$ и $n$.
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В левой части равенства у нас $a=4m$ и $b=x$. Раскроем скобки: $(4m + x)^2 = (4m)^2 + 2 \cdot 4m \cdot x + x^2 = 16m^2 + 8mx + x^2$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства: $16m^2 + 8mx + x^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2$.
Чтобы это равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых переменных должны быть равны. Сравнивая члены многочленов, получаем систему из двух равенств:
1. $8mx = 24mn$ (сравнение средних членов)
2. $x^2 = 9n^2$ (сравнение последних членов)
Из первого равенства, разделив обе части на $8m$ (при $m \ne 0$), получаем: $x = 3n$.
Из второго равенства, извлекая квадратный корень, получаем: $x = \pm \sqrt{9n^2}$, то есть $x = 3n$ или $x = -3n$.
Оба равенства должны выполняться одновременно, поэтому выбираем общее решение $x=3n$.
Проверим: $(4m + 3n)^2 = (4m)^2 + 2 \cdot 4m \cdot 3n + (3n)^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2$. Равенство верно.
Ответ: $x=3n$.

2) Рассмотрим равенство $(2a - x)^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2$.
Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В левой части у нас первый член $2a$, второй член $x$. Раскроем скобки: $(2a - x)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot x + x^2 = 4a^2 - 4ax + x^2$.
Приравняем полученное выражение к правой части: $4a^2 - 4ax + x^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2$.
Сравниваем соответствующие члены:
1. $-4ax = -28ab$
2. $x^2 = 49b^2$
Из первого равенства, разделив обе части на $-4a$ (при $a \ne 0$), получаем: $x = 7b$.
Из второго равенства: $x = \pm \sqrt{49b^2}$, то есть $x = 7b$ или $x = -7b$.
Общим решением является $x=7b$.
Проверим: $(2a - 7b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 7b + (7b)^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2$. Равенство верно.
Ответ: $x=7b$.

3) Рассмотрим равенство $(x + 9n)^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В левой части у нас $a=x$ и $b=9n$. Раскроем скобки: $(x + 9n)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9n + (9n)^2 = x^2 + 18xn + 81n^2$.
Приравняем к правой части: $x^2 + 18xn + 81n^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2$.
Сравниваем члены:
1. $x^2 = 36m^2$
2. $18xn = 108mn$
Из первого равенства: $x = \pm \sqrt{36m^2}$, то есть $x = 6m$ или $x = -6m$.
Из второго равенства, разделив обе части на $18n$ (при $n \ne 0$), получаем: $x = 6m$.
Общим решением является $x=6m$.
Проверим: $(6m + 9n)^2 = (6m)^2 + 2 \cdot 6m \cdot 9n + (9n)^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2$. Равенство верно.
Ответ: $x=6m$.

4) Рассмотрим равенство $(x - 6b)^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2$.
Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В левой части у нас первый член $x$, второй член $6b$. Раскроем скобки: $(x - 6b)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6b + (6b)^2 = x^2 - 12xb + 36b^2$.
Приравняем к правой части: $x^2 - 12xb + 36b^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2$.
Сравниваем члены:
1. $x^2 = 64a^2$
2. $-12xb = -96ab$
Из первого равенства: $x = \pm \sqrt{64a^2}$, то есть $x = 8a$ или $x = -8a$.
Из второго равенства, разделив обе части на $-12b$ (при $b \ne 0$), получаем: $x = 8a$.
Общим решением является $x=8a$.
Проверим: $(8a - 6b)^2 = (8a)^2 - 2 \cdot 8a \cdot 6b + (6b)^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2$. Равенство верно.
Ответ: $x=8a$.