Номер 10, страница 271 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Используя свойства степеней, сравните значения выражений:

1) $40^{20}$ и $20^{40}$;

2) $25^5$ и $125^8$;

3) $16^5$ и $64^3$;

4) $72^{10}$ и $32 \cdot 12^{10}$.

1) Чтобы сравнить значения выражений $40^{20}$ и $20^{40}$, приведем их к общему показателю степени. Показатели степеней — 20 и 40. Мы можем привести второе выражение к степени с показателем 20.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Представим $20^{40}$ следующим образом:

$20^{40} = 20^{2 \cdot 20} = (20^2)^{20} = 400^{20}$

Теперь нам нужно сравнить $40^{20}$ и $400^{20}$. Поскольку показатели степеней одинаковы (равны 20), мы можем сравнить основания.

Так как $40 < 400$, то и $40^{20} < 400^{20}$.

Следовательно, $40^{20} < 20^{40}$.

Ответ: $40^{20} < 20^{40}$.

2) Чтобы сравнить $25^5$ и $125^8$, приведем оба выражения к общему основанию. Заметим, что и 25, и 125 являются степенями числа 5:

$25 = 5^2$

$125 = 5^3$

Теперь подставим эти значения в исходные выражения, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$25^5 = (5^2)^5 = 5^{2 \cdot 5} = 5^{10}$

$125^8 = (5^3)^8 = 5^{3 \cdot 8} = 5^{24}$

Теперь сравним $5^{10}$ и $5^{24}$. Поскольку основания одинаковы (равны 5) и больше 1, то больше то число, у которого больше показатель степени.

Так как $10 < 24$, то $5^{10} < 5^{24}$.

Следовательно, $25^5 < 125^8$.

Ответ: $25^5 < 125^8$.

3) Чтобы сравнить $16^5$ и $64^3$, приведем их к общему основанию. Основания 16 и 64 являются степенями числа 2 (или 4). Приведем их к основанию 2:

$16 = 2^4$

$64 = 2^6$

Преобразуем выражения:

$16^5 = (2^4)^5 = 2^{4 \cdot 5} = 2^{20}$

$64^3 = (2^6)^3 = 2^{6 \cdot 3} = 2^{18}$

Теперь сравним $2^{20}$ и $2^{18}$. Основания одинаковы и больше 1, поэтому сравниваем показатели.

Так как $20 > 18$, то $2^{20} > 2^{18}$.

Следовательно, $16^5 > 64^3$.

Ответ: $16^5 > 64^3$.

4) Чтобы сравнить $72^{10}$ и $32 \cdot 12^{10}$, преобразуем первое выражение. Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$.

Разложим основание 72 на множители так, чтобы одним из них было число 12:

$72 = 6 \cdot 12$

Тогда первое выражение можно записать как:

$72^{10} = (6 \cdot 12)^{10} = 6^{10} \cdot 12^{10}$

Теперь сравнение выглядит так: $6^{10} \cdot 12^{10}$ и $32 \cdot 12^{10}$.

Поскольку $12^{10}$ является общим положительным множителем, мы можем его не учитывать и сравнить только $6^{10}$ и $32$.

Вычислим вторую степень числа 6: $6^2 = 36$.

Так как $36 > 32$, то, очевидно, $6^{10}$ (которое равно $6^2 \cdot 6^8$) будет намного больше, чем 32.

Поскольку $6^{10} > 32$, то и $6^{10} \cdot 12^{10} > 32 \cdot 12^{10}$.

Следовательно, $72^{10} > 32 \cdot 12^{10}$.

Ответ: $72^{10} > 32 \cdot 12^{10}$.