Номер 16, страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. Докажите, что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю:

1) $25x^2(x^2 - y^2) - 25x^2(x^2 + y^2) + 50x^2y^2$;

2) $(5ac - 8)^2 - (8ac - 5)^2 + 39(a^2c^2 - 1).

1) Упростим данное выражение: $25x^2(x^2 - y^2) - 25x^2(x^2 + y^2) + 50x^2y^2$. Сначала раскроем скобки: $25x^2 \cdot x^2 - 25x^2 \cdot y^2 - (25x^2 \cdot x^2 + 25x^2 \cdot y^2) + 50x^2y^2$. Убираем скобки, меняя знаки: $25x^4 - 25x^2y^2 - 25x^4 - 25x^2y^2 + 50x^2y^2$. Теперь приводим подобные слагаемые, группируя их: $(25x^4 - 25x^4) + (-25x^2y^2 - 25x^2y^2 + 50x^2y^2)$. Выполняем вычисления в каждой группе: $0 + (-50x^2y^2 + 50x^2y^2) = 0 + 0 = 0$. Так как в результате тождественных преобразований выражение равно 0, это доказывает, что его значение равно нулю при любых значениях переменных. Ответ: 0.

2) Упростим выражение $(5ac - 8)^2 - (8ac - 5)^2 + 39(a^2c^2 - 1)$. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ к первым двум членам: $( (5ac)^2 - 2 \cdot 5ac \cdot 8 + 8^2 ) - ( (8ac)^2 - 2 \cdot 8ac \cdot 5 + 5^2 ) + 39(a^2c^2 - 1)$. Выполняем действия в скобках: $(25a^2c^2 - 80ac + 64) - (64a^2c^2 - 80ac + 25) + 39a^2c^2 - 39$. Теперь раскроем все скобки: $25a^2c^2 - 80ac + 64 - 64a^2c^2 + 80ac - 25 + 39a^2c^2 - 39$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(25a^2c^2 - 64a^2c^2 + 39a^2c^2) + (-80ac + 80ac) + (64 - 25 - 39)$. Выполнив действия в каждой группе, получим: $(64a^2c^2 - 64a^2c^2) + 0 + (64 - 64) = 0 + 0 + 0 = 0$. Таким образом, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных $a$ и $c$, что и требовалось доказать. Ответ: 0.