Номер 18, страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18. Упростите выражение:

1) $ (8a - 5)(9a + 10) - (12a - 7)(11 + 6a) + 55a; $

2) $ (14a - 3)(15a + 10) - (35a + 2)(7 + 6a) + 162a; $

3) $ (a - 3)^3 - (a + 7)^3 + 30a^2 + 120a; $

4) $ (a + 5)^3 + (6 - a)^3 + 33(20 - a + a^2). $

1) Для упрощения выражения $(8a - 5)(9a + 10) - (12a - 7)(11 + 6a) + 55a$ необходимо последовательно выполнить действия.

Сначала раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(8a - 5)(9a + 10) = 8a \cdot 9a + 8a \cdot 10 - 5 \cdot 9a - 5 \cdot 10 = 72a^2 + 80a - 45a - 50 = 72a^2 + 35a - 50$.

$(12a - 7)(11 + 6a) = 12a \cdot 11 + 12a \cdot 6a - 7 \cdot 11 - 7 \cdot 6a = 132a + 72a^2 - 77 - 42a = 72a^2 + 90a - 77$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(72a^2 + 35a - 50) - (72a^2 + 90a - 77) + 55a$.

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:

$72a^2 + 35a - 50 - 72a^2 - 90a + 77 + 55a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(72a^2 - 72a^2) + (35a - 90a + 55a) + (-50 + 77) = 0 + (90a - 90a) + 27 = 27$.

Ответ: 27

2) Упростим выражение $(14a - 3)(15a + 10) - (35a + 2)(7 + 6a) + 162a$.

Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(14a - 3)(15a + 10) = 14a \cdot 15a + 14a \cdot 10 - 3 \cdot 15a - 3 \cdot 10 = 210a^2 + 140a - 45a - 30 = 210a^2 + 95a - 30$.

$(35a + 2)(7 + 6a) = 35a \cdot 7 + 35a \cdot 6a + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 6a = 245a + 210a^2 + 14 + 12a = 210a^2 + 257a + 14$.

Подставим эти выражения в исходное:

$(210a^2 + 95a - 30) - (210a^2 + 257a + 14) + 162a$.

Раскроем скобки:

$210a^2 + 95a - 30 - 210a^2 - 257a - 14 + 162a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(210a^2 - 210a^2) + (95a - 257a + 162a) + (-30 - 14) = 0 + (257a - 257a) - 44 = -44$.

Ответ: -44

3) Упростим выражение $(a - 3)^3 - (a + 7)^3 + 30a^2 + 120a$.

Воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба разности $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$ и куба суммы $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$.

$(a - 3)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27$.

$(a + 7)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 7 + 3 \cdot a \cdot 7^2 + 7^3 = a^3 + 21a^2 + 147a + 343$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(a^3 - 9a^2 + 27a - 27) - (a^3 + 21a^2 + 147a + 343) + 30a^2 + 120a$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - 9a^2 + 27a - 27 - a^3 - 21a^2 - 147a - 343 + 30a^2 + 120a$.

Сгруппируем члены по степеням $a$:

$(a^3 - a^3) + (-9a^2 - 21a^2 + 30a^2) + (27a - 147a + 120a) + (-27 - 343)$.

$0 + (-30a^2 + 30a^2) + (147a - 147a) - 370 = 0 + 0 + 0 - 370 = -370$.

Ответ: -370

4) Упростим выражение $(a + 5)^3 + (6 - a)^3 + 33(20 - a + a^2)$.

Воспользуемся формулами куба суммы и куба разности.

$(a + 5)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 + 5^3 = a^3 + 15a^2 + 75a + 125$.

$(6 - a)^3 = 6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot a + 3 \cdot 6 \cdot a^2 - a^3 = 216 - 108a + 18a^2 - a^3$.

Раскроем последнее слагаемое: $33(20 - a + a^2) = 660 - 33a + 33a^2$.

Теперь сложим все полученные выражения:

$(a^3 + 15a^2 + 75a + 125) + (216 - 108a + 18a^2 - a^3) + (660 - 33a + 33a^2)$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (15a^2 + 18a^2 + 33a^2) + (75a - 108a - 33a) + (125 + 216 + 660)$.

$0 + (33a^2 + 33a^2) + (75a - 141a) + (341 + 660) = 66a^2 - 66a + 1001$.

Ответ: $66a^2 - 66a + 1001$