Номер 41.26, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.26. Упростите выражения:

1) $ \frac{3 - \frac{2}{x}}{3 + \frac{2}{x}} $;

2) $ \frac{\frac{5n - b}{b} + 1}{\frac{15n + b}{b} - 1} $;

3) $ \frac{\frac{2x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{2y}{x^2}} $;

4) $ \frac{\frac{11}{a} + \frac{11}{b} + \frac{11}{c}}{\frac{12}{ab} + \frac{12}{bc} + \frac{12}{ac}} + \frac{1}{12} $.

1) Исходное выражение: $ \frac{3 - \frac{2}{x}}{3 + \frac{2}{x}} $.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю $x$.

Числитель: $ 3 - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x} - \frac{2}{x} = \frac{3x - 2}{x} $.

Знаменатель: $ 3 + \frac{2}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3x + 2}{x} $.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в основную дробь:

$ \frac{\frac{3x - 2}{x}}{\frac{3x + 2}{x}} $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{3x - 2}{x} \cdot \frac{x}{3x + 2} $.

Сокращаем $x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $ x \neq 0 $):

$ \frac{3x - 2}{3x + 2} $.

Ответ: $ \frac{3x - 2}{3x + 2} $.

2) Исходное выражение: $ \frac{\frac{5n - b}{b} + 1}{\frac{15n + b}{b} - 1} $.

Упростим числитель, приведя слагаемые к общему знаменателю $b$:

$ \frac{5n - b}{b} + 1 = \frac{5n - b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{5n - b + b}{b} = \frac{5n}{b} $.

Упростим знаменатель, также приведя слагаемые к общему знаменателю $b$:

$ \frac{15n + b}{b} - 1 = \frac{15n + b}{b} - \frac{b}{b} = \frac{15n + b - b}{b} = \frac{15n}{b} $.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\frac{5n}{b}}{\frac{15n}{b}} $.

Разделим дроби, умножив верхнюю на перевернутую нижнюю:

$ \frac{5n}{b} \cdot \frac{b}{15n} $.

Сокращаем общие множители $b$ и $n$ (при условии, что $ b \neq 0 $ и $ n \neq 0 $):

$ \frac{5n}{15n} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

3) Исходное выражение: $ \frac{\frac{2x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{2y}{x^2}} $.

Приведем слагаемые в числителе к общему знаменателю $x^2y^2$:

$ \frac{2x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{2x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{2x^3 + y^3}{x^2y^2} $.

Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю $x^2y^2$:

$ \frac{x}{y^2} - \frac{2y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{2y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3 - 2y^3}{x^2y^2} $.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\frac{2x^3 + y^3}{x^2y^2}}{\frac{x^3 - 2y^3}{x^2y^2}} $.

Разделим дроби, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:

$ \frac{2x^3 + y^3}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^2}{x^3 - 2y^3} $.

Сокращаем общий множитель $x^2y^2$ (при $ x \neq 0, y \neq 0 $):

$ \frac{2x^3 + y^3}{x^3 - 2y^3} $.

Ответ: $ \frac{2x^3 + y^3}{x^3 - 2y^3} $.

4) Исходное выражение: $ \frac{\frac{11}{a} + \frac{11}{b} + \frac{11}{c}}{\frac{12}{ab} + \frac{12}{bc} + \frac{12}{ac}} + \frac{1}{12} $.

Рассмотрим отдельно сложную дробь. Упростим ее числитель, приведя к общему знаменателю $abc$:

$ \frac{11}{a} + \frac{11}{b} + \frac{11}{c} = \frac{11bc}{abc} + \frac{11ac}{abc} + \frac{11ab}{abc} = \frac{11(ab + ac + bc)}{abc} $.

Упростим знаменатель сложной дроби, приведя к общему знаменателю $abc$:

$ \frac{12}{ab} + \frac{12}{bc} + \frac{12}{ac} = \frac{12c}{abc} + \frac{12a}{abc} + \frac{12b}{abc} = \frac{12(a + b + c)}{abc} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{11(ab + ac + bc)}{abc}}{\frac{12(a + b + c)}{abc}} = \frac{11(ab + ac + bc)}{abc} \cdot \frac{abc}{12(a + b + c)} = \frac{11(ab + ac + bc)}{12(a + b + c)} $.

Теперь добавим оставшийся член $ \frac{1}{12} $ к полученному выражению:

$ \frac{11(ab + ac + bc)}{12(a + b + c)} + \frac{1}{12} $.

Приведем к общему знаменателю $12(a + b + c)$ и сложим числители:

$ \frac{11(ab + ac + bc)}{12(a + b + c)} + \frac{a+b+c}{12(a + b + c)} = \frac{11ab + 11ac + 11bc + a + b + c}{12(a + b + c)} $.

Ответ: $ \frac{11ab + 11ac + 11bc + a + b + c}{12(a + b + c)} $.