Номер 41.23, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.23. Решите уравнение:

1) $(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} \cdot x = 1;$

2) $\frac{c}{a - c} - \frac{a^3 - ac^2}{a^2 + c^2} \cdot (\frac{a}{(a - c)^2} - \frac{c}{a^2 - c^2}) = 2x.$

1) Исходное уравнение: $(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a-b}{2a+2b}) \cdot \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} \cdot x = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю: $a^2 - b^2 \neq 0$ и $2a + 2b \neq 0$ и $a+b \neq 0$ и $b-a \neq 0$. Все эти условия сводятся к двум: $a \neq b$ и $a \neq -b$.
Сначала упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю.Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем общий множитель $2a+2b = 2(a+b)$. Общий знаменатель будет $2(a-b)(a+b)$.
$\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{2 \cdot 2ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + a^2-2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}$.
Сократим дробь на $(a+b)$, так как по ОДЗ $a+b \neq 0$:
$\frac{a+b}{2(a-b)}$.
Теперь умножим результат на второй множитель $\frac{2a}{a+b}$:
$\frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{a+b} = \frac{(a+b) \cdot 2a}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a-b}$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{a}{a-b} + \frac{b}{b-a} \cdot x = 1$.
Заметим, что $b-a = -(a-b)$, поэтому $\frac{b}{b-a} = -\frac{b}{a-b}$.
Подставим это в уравнение:
$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b} x = 1$
$\frac{a-bx}{a-b} = 1$
Поскольку $a-b \neq 0$, умножим обе части на $(a-b)$:
$a-bx = a-b$
$-bx = -b$
$bx = b$
Теперь проанализируем полученное уравнение относительно параметра $b$:
1. Если $b \neq 0$, то мы можем разделить обе части на $b$ и получить $x=1$.
2. Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого числа $x$. При этом ОДЗ $a \neq \pm b$ превращается в $a \neq 0$.
Ответ: если $b \neq 0$ и $a \neq \pm b$, то $x=1$; если $b=0$ и $a \neq 0$, то $x$ — любое число. При $a = \pm b$ уравнение не определено (теряет смысл).

2) Исходное уравнение: $\frac{c}{a-c} - \frac{a^3-ac^2}{a^2+c^2} \cdot (\frac{a}{(a-c)^2} - \frac{c}{a^2-c^2}) = 2x$.
ОДЗ: $a-c \neq 0$, $a^2+c^2 \neq 0$, $(a-c)^2 \neq 0$, $a^2-c^2 \neq 0$. Эти условия сводятся к $a \neq c$ и $a \neq -c$. (Условие $a^2+c^2 \neq 0$ для действительных $a, c$ выполняется всегда, кроме случая $a=c=0$, который невозможен из-за $a \neq c$).
Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-c)^2(a+c)$:
$\frac{a}{(a-c)^2} - \frac{c}{a^2-c^2} = \frac{a}{(a-c)^2} - \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a(a+c) - c(a-c)}{(a-c)^2(a+c)} = \frac{a^2+ac-ac+c^2}{(a-c)^2(a+c)} = \frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)}$.
Теперь упростим множитель перед скобками:
$\frac{a^3-ac^2}{a^2+c^2} = \frac{a(a^2-c^2)}{a^2+c^2} = \frac{a(a-c)(a+c)}{a^2+c^2}$.
Перемножим упрощенные части:
$\frac{a(a-c)(a+c)}{a^2+c^2} \cdot \frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)}$.
Сокращаем общие множители $(a^2+c^2)$, $(a+c)$ и $(a-c)$ (учитывая ОДЗ):
$\frac{a \cdot (a-c) \cdot (a+c) \cdot (a^2+c^2)}{(a^2+c^2) \cdot (a-c)^2 \cdot (a+c)} = \frac{a}{a-c}$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$\frac{c}{a-c} - \frac{a}{a-c} = 2x$
$\frac{c-a}{a-c} = 2x$
$\frac{-(a-c)}{a-c} = 2x$
$-1 = 2x$
Отсюда находим $x$:
$x = -\frac{1}{2}$.
Это решение справедливо при выполнении условий ОДЗ.
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$ при $a \neq \pm c$. При $a = \pm c$ уравнение не определено (теряет смысл).