Номер 41.18, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.18.

1) $ \left( \frac{a - 1}{3a + (a - 1)^2} - \frac{1 - 3a + a^2}{a^3 - 1} - \frac{1}{a - 1} \right) : \frac{a^2 + 1}{1 - a} $

2) $ \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{3}{n^3 + 1} + \frac{3}{n^2 - n + 1} \right) \cdot \left( n - \frac{2n - 1}{n + 1} \right) $

1)

Данное выражение: $(\frac{a-1}{3a + (a-1)^2} - \frac{1-3a+a^2}{a^3-1} - \frac{1}{a-1}) : \frac{a^2+1}{1-a}$.

Решим его по действиям.

1. Сначала упростим знаменатели в первой скобке.

Первый знаменатель: $3a + (a-1)^2 = 3a + (a^2 - 2a + 1) = a^2 + a + 1$.

Второй знаменатель: $a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1)$ (по формуле разности кубов).

Выражение в скобках примет вид:

$\frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{1-3a+a^2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1}{a-1}$

2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(a-1)(a^2+a+1)$.

$\frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1-3a+a^2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1 \cdot (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

3. Объединим дроби, выполнив действия с числителями.

$\frac{(a-1)^2 - (1-3a+a^2) - (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 - 2a + 1 - 1 + 3a - a^2 - a^2 - a - 1}{(a-1)(a^2+a+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2 - a^2 - a^2) + (-2a + 3a - a) + (1 - 1 - 1)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{-a^2 - 1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{-(a^2+1)}{a^3-1}$

4. Выполним деление.

$\frac{-(a^2+1)}{a^3-1} : \frac{a^2+1}{1-a}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь. Учтем, что $1-a = -(a-1)$ и $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

$\frac{-(a^2+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} \cdot \frac{-(a-1)}{a^2+1}$

5. Сократим полученное выражение.

$\frac{(-1) \cdot (a^2+1) \cdot (-1) \cdot (a-1)}{(a-1) \cdot (a^2+a+1) \cdot (a^2+1)} = \frac{1 \cdot (a^2+1) \cdot (a-1)}{(a-1) \cdot (a^2+a+1) \cdot (a^2+1)}$

Сокращаем общие множители $(a-1)$ и $(a^2+1)$:

$\frac{1}{a^2+a+1}$

Ответ: $\frac{1}{a^2+a+1}$

2)

Данное выражение: $(\frac{1}{n+1} - \frac{3}{n^3+1} + \frac{3}{n^2-n+1}) \cdot (n - \frac{2n-1}{n+1})$.

Решим его по действиям, упрощая каждую скобку.

1. Упростим первую скобку: $\frac{1}{n+1} - \frac{3}{n^3+1} + \frac{3}{n^2-n+1}$.

Используем формулу суммы кубов для знаменателя второй дроби: $n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1)$.

Общим знаменателем будет $(n+1)(n^2-n+1)$. Приведем все дроби к нему:

$\frac{1 \cdot (n^2-n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)} - \frac{3}{(n+1)(n^2-n+1)} + \frac{3 \cdot (n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(n^2-n+1) - 3 + 3(n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)} = \frac{n^2-n+1-3+3n+3}{(n+1)(n^2-n+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n^2-n+1)}$

Числитель является полным квадратом: $n^2+2n+1 = (n+1)^2$.

$\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n^2-n+1)} = \frac{n+1}{n^2-n+1}$

2. Упростим вторую скобку: $n - \frac{2n-1}{n+1}$.

Приведем к общему знаменателю $n+1$:

$\frac{n(n+1)}{n+1} - \frac{2n-1}{n+1} = \frac{n^2+n-(2n-1)}{n+1} = \frac{n^2+n-2n+1}{n+1} = \frac{n^2-n+1}{n+1}$

3. Перемножим результаты упрощения обеих скобок.

$\frac{n+1}{n^2-n+1} \cdot \frac{n^2-n+1}{n+1}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{n+1}}{\cancel{n^2-n+1}} \cdot \frac{\cancel{n^2-n+1}}{\cancel{n+1}} = 1$

Ответ: $1$