Номер 41.17, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия: (41.17–41.18):

41.17. 1) $(a^2 - 1) \cdot \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1\right);$ 2) $\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}\right) \cdot \left(x - \frac{x^2+y^2}{x+y}\right);$

3) $\left(x+1-\frac{1}{1-x}\right) : \left(x - \frac{x^2}{x-1}\right);$ 4) $\left(a+b - \frac{2ab}{a+b}\right) : \left(\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}\right).$

1) $(a^2 - 1) \cdot \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1\right)$
Сначала упростим выражение во вторых скобках. Для этого приведем все слагаемые к общему знаменателю $(a-1)(a+1)$, который равен $a^2-1$:
$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1 = \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{1 \cdot (a^2-1)}{(a^2-1)} = \frac{a+1 - (a-1) + a^2-1}{a^2-1} = \frac{a+1-a+1+a^2-1}{a^2-1} = \frac{a^2+1}{a^2-1}$.
Теперь умножим полученную дробь на первый множитель $(a^2-1)$:
$(a^2-1) \cdot \frac{a^2+1}{a^2-1}$.
Сокращаем общий множитель $(a^2-1)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq -1$:
$\frac{(a^2-1)(a^2+1)}{a^2-1} = a^2+1$.
Ответ: $a^2+1$.

2) $\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}\right) \cdot \left(x - \frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$
Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.
Выражение в первой скобке. Общий знаменатель $y(x-y)$:
$\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{y(x-y)} + \frac{2 \cdot y}{y(x-y)} = \frac{x-y+2y}{y(x-y)} = \frac{x+y}{y(x-y)}$.
Выражение во второй скобке. Общий знаменатель $x+y$:
$x - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x(x+y)}{x+y} - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x^2+xy-(x^2+y^2)}{x+y} = \frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y} = \frac{xy-y^2}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x+y}$.
Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:
$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y}$.
Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях: $(x+y)$, $y$ и $(x-y)$. В результате все сокращается:
$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y} = 1$.
Ответ: $1$.

3) $\left(x+1-\frac{1}{1-x}\right) : \left(x-\frac{x^2}{x-1}\right)$
Сначала упростим выражение в первых скобках (делимое). Заметим, что $-\frac{1}{1-x} = \frac{1}{-(1-x)} = \frac{1}{x-1}$.
$x+1-\frac{1}{1-x} = x+1+\frac{1}{x-1}$.
Приведем к общему знаменателю $(x-1)$:
$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x^2-1+1}{x-1} = \frac{x^2}{x-1}$.
Теперь упростим выражение во вторых скобках (делитель). Общий знаменатель $(x-1)$:
$x-\frac{x^2}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1} - \frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2-x-x^2}{x-1} = \frac{-x}{x-1}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{x^2}{x-1} : \frac{-x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{-x}$.
Сокращаем общие множители $(x-1)$ и $x$:
$\frac{x^2 \cdot (x-1)}{(x-1) \cdot (-x)} = \frac{x}{-1} = -x$.
Ответ: $-x$.

4) $\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right) : \left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right)$
Упростим делимое (выражение в первой скобке). Общий знаменатель $(a+b)$:
$a+b-\frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$.
Теперь упростим делитель (выражение во второй скобке). Общий знаменатель $a(a+b)$:
$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a} = \frac{a(a-b)}{a(a+b)} + \frac{b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}$.
Сокращаем общие множители $(a+b)$ и $(a^2+b^2)$:
$\frac{(a^2+b^2) \cdot a \cdot (a+b)}{(a+b) \cdot (a^2+b^2)} = a$.
Ответ: $a$.