Номер 41.21, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.21. Найдите x и y из тождества:

1) $\frac{1}{a^2 + 2a - 8} = \frac{x}{a + 4} + \frac{y}{a - 2};$

2) $\frac{1}{a^2 - 5a + 6} = \frac{x}{a - 3} + \frac{y}{a - 2};$

3) $\frac{1}{a^2 - 2a - 8} = \frac{x}{a - 4} + \frac{y}{a + 2};$

4) $\frac{1}{2a^2 - 5a + 3} = \frac{x}{a - 1} + \frac{y}{2a - 3}.$

1) Чтобы найти $x$ и $y$, представим дробь в левой части в виде суммы дробей, как в правой части. Этот метод называется разложением на простейшие дроби. Сначала разложим знаменатель левой части на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $a^2 + 2a - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-8$. Корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = -4$. Таким образом, $a^2 + 2a - 8 = (a-2)(a+4)$.
Исходное тождество можно переписать в виде:
$\frac{1}{(a+4)(a-2)} = \frac{x}{a+4} + \frac{y}{a-2}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(a+4)(a-2)$:
$\frac{x}{a+4} + \frac{y}{a-2} = \frac{x(a-2) + y(a+4)}{(a+4)(a-2)}$
Так как знаменатели в обеих частях тождества равны, то должны быть равны и числители:
$1 = x(a-2) + y(a+4)$
Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $a$. Мы можем использовать это, подставив удобные значения $a$, чтобы найти $x$ и $y$. Удобнее всего подставлять корни знаменателя.
Подставим $a = 2$:
$1 = x(2 - 2) + y(2 + 4)$
$1 = x \cdot 0 + y \cdot 6$
$1 = 6y \implies y = \frac{1}{6}$
Подставим $a = -4$:
$1 = x(-4 - 2) + y(-4 + 4)$
$1 = x \cdot (-6) + y \cdot 0$
$1 = -6x \implies x = -\frac{1}{6}$
Ответ: $x = -\frac{1}{6}, y = \frac{1}{6}$.

2) Разложим на множители знаменатель левой части: $a^2 - 5a + 6$. Корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$ по теореме Виета: $a_1 = 2$, $a_2 = 3$. Следовательно, $a^2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)$.
Тождество принимает вид:
$\frac{1}{(a-3)(a-2)} = \frac{x}{a-3} + \frac{y}{a-2}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{x(a-2) + y(a-3)}{(a-3)(a-2)}$
Приравняем числители:
$1 = x(a-2) + y(a-3)$
Подставим $a=3$:
$1 = x(3-2) + y(3-3) \implies 1 = x \cdot 1 + y \cdot 0 \implies x=1$
Подставим $a=2$:
$1 = x(2-2) + y(2-3) \implies 1 = x \cdot 0 + y \cdot (-1) \implies 1 = -y \implies y=-1$
Ответ: $x=1, y=-1$.

3) Разложим на множители знаменатель $a^2 - 2a - 8$. Корни уравнения $a^2 - 2a - 8 = 0$ по теореме Виета: $a_1 = 4$, $a_2 = -2$. Следовательно, $a^2 - 2a - 8 = (a-4)(a+2)$.
Тождество принимает вид:
$\frac{1}{(a-4)(a+2)} = \frac{x}{a-4} + \frac{y}{a+2}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{x(a+2) + y(a-4)}{(a-4)(a+2)}$
Приравняем числители:
$1 = x(a+2) + y(a-4)$
Подставим $a=4$:
$1 = x(4+2) + y(4-4) \implies 1 = 6x \implies x=\frac{1}{6}$
Подставим $a=-2$:
$1 = x(-2+2) + y(-2-4) \implies 1 = -6y \implies y=-\frac{1}{6}$
Ответ: $x=\frac{1}{6}, y=-\frac{1}{6}$.

4) Разложим на множители знаменатель $2a^2 - 5a + 3$. Решим уравнение $2a^2 - 5a + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$. Корни: $a_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$, $a_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Следовательно, $2a^2 - 5a + 3 = 2(a-1)(a-\frac{3}{2}) = (a-1)(2a-3)$.
Тождество принимает вид:
$\frac{1}{(a-1)(2a-3)} = \frac{x}{a-1} + \frac{y}{2a-3}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{x(2a-3) + y(a-1)}{(a-1)(2a-3)}$
Приравняем числители:
$1 = x(2a-3) + y(a-1)$
Подставим $a=1$:
$1 = x(2 \cdot 1 - 3) + y(1-1) \implies 1 = x(-1) \implies x=-1$
Подставим $a=\frac{3}{2}$:
$1 = x(2 \cdot \frac{3}{2} - 3) + y(\frac{3}{2} - 1) \implies 1 = x(0) + y(\frac{1}{2}) \implies 1 = \frac{1}{2}y \implies y=2$
Ответ: $x=-1, y=2$.