Номер 6, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. При каких значениях $a$ имеет смысл дробь $\frac{a - 1}{a^2 + 4}$?
A. все числа, кроме 4;
B. все числа, кроме 1;
C. все числа, кроме 2 и -2;
D. $a$ — любое число?

2. При каких значениях $x$ переменной не имеет смысла дробь $\frac{x - 3}{x + 3}$?
A. 9;
B. 3;
C. 0;
D. -3?

3. Сократите дробь $\frac{8x^2 - 4xy}{y - 2x}$.
A. 4;
B. -4$x$;
C. 4$x$;
D. -4.

4. Найдите дробь, равную дроби $\frac{3}{y - x}$.
A. $\frac{6}{2x - y}$;
B. $\frac{3}{y - x}$;
C. $\frac{3}{x + y}$;
D. $-\frac{3}{y - x}$.

5. Укажите верное тождество:
A. $\frac{5a}{a^2 - 3} = \frac{5}{a - 3}$;
B. $\frac{x + y}{x - y} = \frac{(x + y)^2}{x^2 - y^2}$;
C. $\frac{b}{b - 3} = \frac{7b}{21 - 7b}$;
D. $\frac{5}{11} = \frac{5}{11n}$.

6. Приведите к общему знаменателю дроби $\frac{1}{3x^2}$; $\frac{5}{6xy^2}$; $\frac{3}{10xy^3}$:
A. $30x^2y^3$;
B. $60x^2y^3$;
C. $30x^5y^5$;
D. $180x^2y^3$.

7. Чему равен общий знаменатель дробей $\frac{6}{3a - a^2}$; $\frac{a + 1}{a^2 - 9}$; $\frac{4}{a^2}$?
A. $a^2 - 9$;
B. $a(a^2 - 9)$;
C. $a(9 - a^2)$;
D. $a^2(9 - a^2)$?

8. Упростите выражение $\frac{3x - 26}{18x^2} - \frac{x - 4}{3x^2} - \frac{5}{9x}$:
A. $\frac{13x - 26}{18x^2}$;
B. $\frac{19x - 22}{18x^2}$;
C. $-\frac{13x + 2}{18x^2}$;
D. $-\frac{13x - 26}{18x^2}$.

9. При каких значениях $x$ выполняется равенство $\frac{2}{x^2 - 9} = \frac{1}{x - 3} + \frac{3}{x + 3}$?
A. 1;
B. 0;
C. 2;
D. -1?

10. Упростите выражение $\frac{2y + 3}{x} \cdot \frac{3y^2}{4y^2 - 9} : \frac{10xy - 15x}{y}$.
A. 15;
B. $15y$;
C. $\frac{1}{15y}$;
D. $\frac{x}{15y}$.

11. Упростите выражение $(1 - \frac{3}{a}) : \frac{a^2 - 9}{a}$.
A. $\frac{1}{a + 3}$;
B. $a + 3$;
C. $\frac{a^2}{a + 3}$;
D. 1.

12. Упростите выражение $\frac{8 - a^3}{16 - a^2} \cdot \frac{a + 4}{a^2 + 2a + 4}$ и найдите его значение при $a = -2$:
A. 0;
B. $\frac{2}{3}$;
C. 1;
D. -1.

13. Сократите дробь $\frac{9x^2 + 24xy + 16y^2}{9x^2 - 16y^2}$:
A. $\frac{4y + 3x}{4y - 3x}$;
B. $\frac{3x - 4y}{4y + 3x}$;
C. $\frac{4y + 3x}{3x - 4y}$;
D. $\frac{1}{3x + 4y}$.

14. Если $\frac{2a - b}{3a + 2} = 5$, то найдите значение дроби $\frac{4b - 8a}{15a + 10}$.
A. 4;
B. 100;
C. -4;
D. -100.

15. Упростите выражение $(\frac{6a}{5b})^2 \cdot (\frac{5b^3}{6a})^4 \cdot (6a)^2$:
A. $25b^{10}$;
B. $\frac{b^{10}}{5}$;
C. $30a^4b^{12}$;
D. 1.

16. Из пропорции $\frac{a^3 - 25a}{2a + 10} = \frac{3a^2 - 15a}{x}$ найдите значение $x$:
A. $\frac{1}{6}$;
B. 1;
C. 6;
D. -6.

17. Выразите $a$ из равенства $\frac{1}{x} = \frac{b}{a} - b$:
A. $\frac{4 + xb}{xb}$;
B. $\frac{xb}{1 + xb}$;
C. $\frac{1 - xb}{xb}$;
D. $\frac{xb}{1 - xb}$.

18. Известно, что $\frac{1}{x} + x = m$. Найдите выражение $\frac{1}{x^2} + x^2$:
A. $m^2$;
B. $2 + m^2$;
C. $m^2 - 2$;
D. $2 - m^2$.

1. Алгебраическая дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $a^2+4$. Решим уравнение $a^2+4=0$. Получаем $a^2=-4$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет решений в действительных числах. Значит, знаменатель $a^2+4$ никогда не равен нулю. Следовательно, дробь имеет смысл при любом значении $a$.

Ответ: D. $a$ — любое число.

2. Дробь не имеет смысла, когда её знаменатель равен нулю. Знаменатель дроби $\frac{x-3}{x+3}$ равен $x+3$. Приравняем его к нулю: $x+3=0$. Решая это уравнение, получаем $x=-3$.

Ответ: D. –3.

3. Чтобы сократить дробь $\frac{8x^2 - 4xy}{y - 2x}$, вынесем общий множитель в числителе: $8x^2 - 4xy = 4x(2x - y)$. Дробь примет вид $\frac{4x(2x - y)}{y - 2x}$. Заметим, что $2x - y = -(y - 2x)$. Подставим это в дробь: $\frac{4x(-(y - 2x))}{y - 2x}$. Теперь можно сократить общий множитель $(y - 2x)$, при условии, что он не равен нулю. В результате получаем $-4x$.

Ответ: B. –4x.

4. Требуется найти дробь, равную дроби $\frac{3}{y-x}$. Проанализируем предложенные варианты.
A. $\frac{6}{2x-y} \neq \frac{3}{y-x}$, так как при умножении числителя и знаменателя исходной дроби на 2, получим $\frac{6}{2y-2x}$.
B. $\frac{3}{y-x}$ — это та же самая дробь, следовательно, она равна исходной.
C. $\frac{3}{x+y} \neq \frac{3}{y-x}$, так как знаменатели различны.
D. $-\frac{3}{y-x} \neq \frac{3}{y-x}$, так как это противоположное по знаку выражение.
Единственный верный вариант — B.

Ответ: B. $\frac{3}{y-x}$.

5. Проверим каждое тождество.
A. $\frac{5a}{a^2-3} = \frac{5}{a-3}$ — неверно, так как нельзя просто убрать $a$ из числителя и $a^2$ из знаменателя.
B. $\frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}$. Правая часть: $\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2} = \frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y}{x-y}$. Тождество верно.
C. $\frac{b}{b-3} = \frac{7b}{21-7b}$. Правая часть: $\frac{7b}{21-7b} = \frac{7b}{7(3-b)} = \frac{b}{3-b} = \frac{b}{-(b-3)} = -\frac{b}{b-3}$. Тождество неверно.
D. $\frac{5}{11} = \frac{5}{11n}$ — верно только при $n=1$, поэтому это не тождество.

Ответ: B. $\frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}$.

6. Чтобы найти общий знаменатель дробей $\frac{1}{3x^2}$, $\frac{5}{6xy^2}$, $\frac{3}{10xy^3}$, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: $3x^2$, $6xy^2$, $10xy^3$.
НОК коэффициентов (3, 6, 10) равно 30.
Для переменных берем наивысшую степень каждой из них: для $x$ это $x^2$, для $y$ это $y^3$.
Таким образом, общий знаменатель равен $30x^2y^3$.

Ответ: A. $30x^2y^3$.

7. Найдем общий знаменатель дробей $\frac{6}{3a-a^2}$, $\frac{a+1}{a^2-9}$, $\frac{4}{a^2}$. Сначала разложим знаменатели на множители:
$3a-a^2 = a(3-a)$
$a^2-9 = (a-3)(a+3)$
$a^2 = a^2$
Заметим, что $3-a = -(a-3)$. Используя множитель $(3-a)$, перепишем второй знаменатель: $(a-3)(a+3) = -(3-a)(a+3)$.
Множители, входящие в общий знаменатель: $a$, $(3-a)$, $(a+3)$. Берем каждый множитель в наивысшей степени: $a^2$, $(3-a)$, $(a+3)$.
Общий знаменатель: $a^2(3-a)(a+3) = a^2(9-a^2)$.

Ответ: D. $a^2(9-a^2)$.

8. Упростим выражение $\frac{3x-26}{18x^2} - \frac{x-4}{3x^2} - \frac{5}{9x}$. Общий знаменатель $18x^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3x-26}{18x^2} - \frac{(x-4) \cdot 6}{3x^2 \cdot 6} - \frac{5 \cdot 2x}{9x \cdot 2x} = \frac{3x-26}{18x^2} - \frac{6x-24}{18x^2} - \frac{10x}{18x^2}$
Выполним вычитание:
$\frac{(3x-26) - (6x-24) - 10x}{18x^2} = \frac{3x-26-6x+24-10x}{18x^2} = \frac{(3-6-10)x + (-26+24)}{18x^2} = \frac{-13x-2}{18x^2} = -\frac{13x+2}{18x^2}$.

Ответ: C. $-\frac{13x+2}{18x^2}$.

9. Решим уравнение $\frac{2}{x^2-9} = \frac{1}{x-3} + \frac{3}{x+3}$. Область допустимых значений: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Приведем правую часть к общему знаменателю $(x-3)(x+3)=x^2-9$:
$\frac{1(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{3(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3+3x-9}{x^2-9} = \frac{4x-6}{x^2-9}$.
Уравнение принимает вид: $\frac{2}{x^2-9} = \frac{4x-6}{x^2-9}$.
Приравниваем числители: $2 = 4x-6$.
$4x = 8$.
$x=2$.
Это значение входит в ОДЗ.

Ответ: C. 2.

10. Упростим выражение $\frac{2y+3}{x} \cdot \frac{3y^2}{4y^2-9} : \frac{y}{10xy-15x}$.
Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим многочлены на множители:
$\frac{2y+3}{x} \cdot \frac{3y^2}{(2y-3)(2y+3)} \cdot \frac{5x(2y-3)}{y}$.
Сократим общие множители: $(2y+3)$, $(2y-3)$, $x$ и $y$.
$\frac{\cancel{2y+3}}{\cancel{x}} \cdot \frac{3y^{\cancel{2}}}{(\cancel{2y-3})(\cancel{2y+3})} \cdot \frac{5\cancel{x}(\cancel{2y-3})}{\cancel{y}} = 3y \cdot 5 = 15y$.

Ответ: B. 15y.

11. Упростим выражение $\left(1 - \frac{3}{a}\right) \cdot \frac{a}{a^2-9}$.
Сначала выполним действие в скобках: $1 - \frac{3}{a} = \frac{a-3}{a}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{a-3}{a} \cdot \frac{a}{a^2-9}$.
Разложим знаменатель $a^2-9$ на множители: $a^2-9=(a-3)(a+3)$.
$\frac{a-3}{a} \cdot \frac{a}{(a-3)(a+3)}$.
Сократим общие множители $a$ и $(a-3)$: $\frac{\cancel{a-3}}{\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}}{(\cancel{a-3})(a+3)} = \frac{1}{a+3}$.

Ответ: A. $\frac{1}{a+3}$.

12. Упростим выражение $\frac{8-a^3}{16-a^2} \cdot \frac{a+4}{a^2+2a+4}$.
Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители, используя формулы разности кубов и разности квадратов:
$8-a^3 = (2-a)(4+2a+a^2)$
$16-a^2 = (4-a)(4+a)$
Подставим в выражение: $\frac{(2-a)(a^2+2a+4)}{(4-a)(a+4)} \cdot \frac{a+4}{a^2+2a+4}$.
Сократим общие множители $(a^2+2a+4)$ и $(a+4)$:
$\frac{2-a}{4-a}$.
Теперь найдем значение выражения при $a=-2$: $\frac{2-(-2)}{4-(-2)} = \frac{2+2}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: B. $\frac{2}{3}$.

13. Сократим дробь $\frac{9x^2+24xy+16y^2}{9x^2-16y^2}$.
Числитель является полным квадратом: $9x^2+24xy+16y^2 = (3x+4y)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $9x^2-16y^2 = (3x-4y)(3x+4y)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(3x+4y)^2}{(3x-4y)(3x+4y)}$.
Сокращаем общий множитель $(3x+4y)$: $\frac{3x+4y}{3x-4y}$.
Заметим, что $3x+4y = 4y+3x$. Поэтому результат можно записать как $\frac{4y+3x}{3x-4y}$.

Ответ: C. $\frac{4y+3x}{3x-4y}$.

14. Дано $\frac{2a-b}{3a+2}=5$. Нужно найти значение $\frac{4b-8a}{15a+10}$.
Преобразуем вторую дробь, вынося общие множители:
Числитель: $4b-8a = -4(2a-b)$.
Знаменатель: $15a+10 = 5(3a+2)$.
Дробь равна $\frac{-4(2a-b)}{5(3a+2)} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{2a-b}{3a+2}$.
Подставим известное значение $\frac{2a-b}{3a+2}=5$:
$-\frac{4}{5} \cdot 5 = -4$.

Ответ: C. –4.

15. Упростим выражение $\left(\frac{6a}{5b}\right)^2 \cdot \left(\frac{5b^3}{6a}\right)^4 \cdot (6a)^2$.
Возведем в степень каждый множитель:
$\frac{6^2a^2}{5^2b^2} \cdot \frac{5^4(b^3)^4}{6^4a^4} \cdot 6^2a^2 = \frac{36a^2}{25b^2} \cdot \frac{625b^{12}}{1296a^4} \cdot 36a^2$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные:
$\frac{36 \cdot 625 \cdot 36}{25 \cdot 1296} \cdot \frac{a^2 \cdot a^2}{a^4} \cdot \frac{b^{12}}{b^2}$.
Упростим коэффициенты: $\frac{36 \cdot 25^{\cancel{2}} \cdot 36}{\cancel{25} \cdot 36^2} = 25$.
Упростим переменные: $a^{2+2-4} = a^0 = 1$ и $b^{12-2} = b^{10}$.
Результат: $25 \cdot 1 \cdot b^{10} = 25b^{10}$.

Ответ: A. $25b^{10}$.

16. Из пропорции $\frac{a^3-25a}{2a+10} = \frac{3a^2-15a}{x}$ выразим $x$:
$x = \frac{(2a+10)(3a^2-15a)}{a^3-25a}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$x = \frac{2(a+5) \cdot 3a(a-5)}{a(a^2-25)} = \frac{6a(a+5)(a-5)}{a(a-5)(a+5)}$.
Сократим общие множители $a$, $(a-5)$ и $(a+5)$ (при условии, что они не равны нулю).
$x = 6$.

Ответ: C. 6.

17. Выразим $a$ из равенства $\frac{1}{x} = \frac{b}{a} - b$.
Сначала изолируем слагаемое с $a$:
$\frac{b}{a} = \frac{1}{x} + b$.
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{b}{a} = \frac{1+bx}{x}$.
Теперь "перевернем" обе части дроби (возьмем обратные величины):
$\frac{a}{b} = \frac{x}{1+bx}$.
Умножим обе части на $b$, чтобы выразить $a$:
$a = \frac{bx}{1+bx}$.

Ответ: B. $\frac{xb}{1+xb}$.

18. Известно, что $\frac{1}{x} + x = m$. Чтобы найти $\frac{1}{x^2} + x^2$, возведем обе части исходного равенства в квадрат:
$\left(\frac{1}{x} + x\right)^2 = m^2$.
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$:
$\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot x + x^2 = m^2$.
$\frac{1}{x^2} + 2 + x^2 = m^2$.
Теперь выразим искомую сумму:
$\frac{1}{x^2} + x^2 = m^2 - 2$.

Ответ: C. $m^2-2$.