Номер 41.9, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.9. Докажите тождество:

1) $ \frac{x^3}{x^2 - 4} + \frac{x}{x + 2} - x = \frac{x}{x - 2} $;

2) $ \frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} - \frac{6}{(a + 1)^2} = - \frac{1}{(a + 1)^2} $.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Исходное выражение в левой части: $\frac{x^3}{x^2 - 4} + \frac{x}{x + 2} - x$.

Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{x^3}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x}{x + 2} - x$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2)$. Для этого домножим второе слагаемое на $(x-2)$, а третье на $(x-2)(x+2)$.

$\frac{x^3}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^3 + x(x - 2) - x(x^2 - 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^3 + x^2 - 2x - x^3 + 4x}{(x - 2)(x + 2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^3 - x^3) + x^2 + (-2x + 4x)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2x}{(x - 2)(x + 2)}$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:

$\frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2)$ (при условии, что $x \neq -2$):

$\frac{x}{x - 2}$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $\frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} - \frac{6}{(a + 1)^2}$.

Ключевым шагом является разложение на множители знаменателя первой дроби $P(a) = a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2$. Сгруппируем его члены:

$P(a) = (a^4 - a^2 - 2) + (2a^3 - 4a)$

Разложим на множители первую группу $(a^4 - a^2 - 2)$. Рассматривая это как квадратное уравнение относительно $a^2$, находим корни $t^2 - t - 2 = 0$, которые равны $t_1=2$ и $t_2=-1$. Таким образом, $a^4 - a^2 - 2 = (a^2 - 2)(a^2 + 1)$.

Во второй группе $(2a^3 - 4a)$ вынесем общий множитель $2a$: $2a(a^2 - 2)$.

Теперь весь знаменатель можно записать как:

$P(a) = (a^2 - 2)(a^2 + 1) + 2a(a^2 - 2)$

Вынесем общий множитель $(a^2 - 2)$:

$P(a) = (a^2 - 2)(a^2 + 1 + 2a)$

Выражение во второй скобке является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.

Следовательно, знаменатель равен $(a^2 - 2)(a + 1)^2$.

Подставим разложенный знаменатель обратно в левую часть исходного выражения:

$\frac{5a^2 - 10}{(a^2 - 2)(a + 1)^2} - \frac{6}{(a + 1)^2}$

В числителе первой дроби вынесем множитель 5: $5a^2 - 10 = 5(a^2 - 2)$.

$\frac{5(a^2 - 2)}{(a^2 - 2)(a + 1)^2} - \frac{6}{(a + 1)^2}$

Сократим первую дробь на $(a^2 - 2)$ (при условии, что $a^2 \neq 2$):

$\frac{5}{(a + 1)^2} - \frac{6}{(a + 1)^2}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5 - 6}{(a + 1)^2} = \frac{-1}{(a + 1)^2} = -\frac{1}{(a + 1)^2}$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.