Номер 37, страница 275 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37. При каких значениях переменной y меньше нуля значение разности двух выражений:

1) $y^2 - 16$ и $8y + y^2$;

2) $5y^3 + 10y$ и $17 + 5y^3$;

3) $(1-y)^2 + 13$ и $y^2 - 6$;

4) $87 + y^2$ и $(y - 3)^2 - 5?

1) Чтобы найти значения переменной $y$, при которых значение разности выражений $y^2 - 16$ и $8y + y^2$ меньше нуля, необходимо составить и решить неравенство. Разность выражений должна быть меньше нуля:

$(y^2 - 16) - (8y + y^2) < 0$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$y^2 - 16 - 8y - y^2 < 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются:

$-8y - 16 < 0$

Перенесем число -16 в правую часть неравенства, изменив его знак:

$-8y < 16$

Разделим обе части неравенства на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y > \frac{16}{-8}$

$y > -2$

Ответ: при $y > -2$.

2) Составим неравенство для разности выражений $5y^3 + 10y$ и $17 + 5y^3$:

$(5y^3 + 10y) - (17 + 5y^3) < 0$

Раскроем скобки:

$5y^3 + 10y - 17 - 5y^3 < 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $5y^3$ и $-5y^3$ взаимно уничтожаются:

$10y - 17 < 0$

Перенесем число -17 в правую часть неравенства:

$10y < 17$

Разделим обе части на 10:

$y < \frac{17}{10}$

$y < 1,7$

Ответ: при $y < 1,7$.

3) Составим неравенство для разности выражений $(1-y)^2 + 13$ и $y^2 - 6$:

$((1-y)^2 + 13) - (y^2 - 6) < 0$

Сначала раскроем скобки $(1-y)^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(1 - 2y + y^2) + 13 - (y^2 - 6) < 0$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$1 - 2y + y^2 + 13 - y^2 + 6 < 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются. Сложим числовые коэффициенты: $1 + 13 + 6 = 20$.

$-2y + 20 < 0$

Перенесем 20 в правую часть:

$-2y < -20$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$y > \frac{-20}{-2}$

$y > 10$

Ответ: при $y > 10$.

4) Составим неравенство для разности выражений $87 + y^2$ и $(y-3)^2 - 5$:

$(87 + y^2) - ((y-3)^2 - 5) < 0$

Раскроем внутренние скобки, используя формулу квадрата разности:

$(87 + y^2) - (y^2 - 6y + 9 - 5) < 0$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(87 + y^2) - (y^2 - 6y + 4) < 0$

Раскроем скобки:

$87 + y^2 - y^2 + 6y - 4 < 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются. Вычтем числа: $87 - 4 = 83$.

$6y + 83 < 0$

Перенесем 83 в правую часть:

$6y < -83$

Разделим обе части на 6:

$y < -\frac{83}{6}$

Ответ: при $y < -83/6$.