Номер 41, страница 275 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41. С помощью графика функции, изображенного на рисунке 1, найдите:

1) область ее определения;

2) значения аргумента $x$, для которых функция возрастает;

3) значения аргумента $x$, для которых функция убывает;

4) координаты точек $A, B, C, D$;

5) координаты точек пересечения графика с осями координат;

6) уравнения, графиками которых являются прямые $AB, BC, CD$.

1) область ее определения;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Глядя на график, мы видим, что он начинается в точке A с абсциссой $x = -5$ и заканчивается в точке D с абсциссой $x = 4$. Таким образом, функция определена на отрезке от -5 до 4 включительно.

Ответ: $D(f) = [-5; 4]$.

2) значения аргумента x, для которых функция возрастает;

Функция возрастает на тех промежутках, где ее график идет вверх при движении слева направо. На данном графике это происходит на отрезках AB и BC. Объединяя абсциссы этих отрезков, получаем, что функция возрастает от $x = -5$ (точка A) до $x = 1$ (точка C).

Ответ: $x \in [-5; 1]$.

3) значения аргумента x, для которых функция убывает;

Функция убывает на тех промежутках, где ее график идет вниз при движении слева направо. На данном графике это происходит на отрезке CD, который начинается при $x = 1$ и заканчивается при $x = 4$.

Ответ: $x \in [1; 4]$.

4) координаты точек A, B, C, D;

Определим координаты точек по клеткам на графике, считая, что одна клетка равна единице. Точка A находится в 5 клетках влево и 4 клетках вниз от начала координат, ее координаты: $(-5, -4)$. Точка B находится в 2 клетках влево и 2 клетках вниз, ее координаты: $(-2, -2)$. Точка C находится в 1 клетке вправо и 2 клетках вверх, ее координаты: $(1, 2)$. Точка D находится в 4 клетках вправо и 5 клетках вниз, ее координаты: $(4, -5)$.

Ответ: A(-5; -4), B(-2; -2), C(1; 2), D(4; -5).

5) координаты точек пересечения графика с осями координат;

Найдем точки, в которых график пересекает ось абсцисс (Ox) и ось ординат (Oy).
Пересечение с осью Oy происходит при $x=0$. Эта точка лежит на отрезке BC. Найдем уравнение прямой BC, проходящей через точки B(-2; -2) и C(1; 2). Угловой коэффициент $k = \frac{2 - (-2)}{1 - (-2)} = \frac{4}{3}$. Уравнение прямой: $y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)$, что дает $y = \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$. При $x=0$, $y = \frac{2}{3}$. Точка пересечения с Oy: $(0, \frac{2}{3})$.
Пересечение с осью Ox происходит при $y=0$. Используя то же уравнение, решим $0 = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$. Отсюда $\frac{4}{3}x = -\frac{2}{3}$, что дает $x = -\frac{1}{2}$ или $x = -0,5$. Точка пересечения с Ox: $(-0,5; 0)$.

Ответ: с осью Ox в точке $(-0,5; 0)$, с осью Oy в точке $(0; \frac{2}{3})$.

6) уравнения, графиками которых являются прямые AB, BC, CD.

Найдем уравнения для каждого отрезка прямой, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
Для прямой AB, проходящей через A(-5; -4) и B(-2; -2):
$k_{AB} = \frac{-2 - (-4)}{-2 - (-5)} = \frac{2}{3}$.
Уравнение: $y - (-2) = \frac{2}{3}(x - (-2)) \implies y + 2 = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3} \implies y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$.
Для прямой BC, проходящей через B(-2; -2) и C(1; 2):
$k_{BC} = \frac{2 - (-2)}{1 - (-2)} = \frac{4}{3}$.
Уравнение: $y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1) \implies y = \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} + 2 \implies y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$.
Для прямой CD, проходящей через C(1; 2) и D(4; -5):
$k_{CD} = \frac{-5 - 2}{4 - 1} = -\frac{7}{3}$.
Уравнение: $y - 2 = -\frac{7}{3}(x - 1) \implies y = -\frac{7}{3}x + \frac{7}{3} + 2 \implies y = -\frac{7}{3}x + \frac{13}{3}$.

Ответ: AB: $y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$; BC: $y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$; CD: $y = -\frac{7}{3}x + \frac{13}{3}$.