Страница 279 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53. Дан график функции $y = \frac{5}{x}$ (рис. 8).

Рис. 7

Рис. 8

Проходит ли график функции через точку:

1) A (1; 7);

2) B (-5; -1);

3) C (2; 1);

M (-2; -2,5)?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = \frac{5}{x}$ через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство ($y_0 = \frac{5}{x_0}$), то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) A (1; 7)

Подставляем координаты точки А, где $x=1$ и $y=7$, в уравнение функции:

$7 = \frac{5}{1}$

$7 = 5$

Полученное равенство неверно. Следовательно, график функции не проходит через точку A.

Ответ: нет.

2) B (–5; –1)

Подставляем координаты точки B, где $x=-5$ и $y=-1$, в уравнение функции:

$-1 = \frac{5}{-5}$

$-1 = -1$

Полученное равенство верно. Следовательно, график функции проходит через точку B.

Ответ: да.

3) C (2; 1)

Подставляем координаты точки C, где $x=2$ и $y=1$, в уравнение функции:

$1 = \frac{5}{2}$

$1 = 2,5$

Полученное равенство неверно. Следовательно, график функции не проходит через точку C.

Ответ: нет.

4) M (–2; –2,5)

Подставляем координаты точки M, где $x=-2$ и $y=-2,5$, в уравнение функции:

$-2,5 = \frac{5}{-2}$

$-2,5 = -2,5$

Полученное равенство верно. Следовательно, график функции проходит через точку M.

Ответ: да.

54. Известно, что $a + b + c = 9$, $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = \frac{5}{6}$.

Найдите значение выражения $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$.

Обозначим искомое выражение через $E$:
$E = \frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$
Рассмотрим выражение $E+3$. Для этого прибавим к каждой дроби в выражении $E$ по единице:
$E + 3 = \left(\frac{c}{a + b} + 1\right) + \left(\frac{a}{b + c} + 1\right) + \left(\frac{b}{a + c} + 1\right)$
Приведем к общему знаменателю в каждой скобке:
$E + 3 = \frac{c + (a + b)}{a + b} + \frac{a + (b + c)}{b + c} + \frac{b + (a + c)}{a + c}$
$E + 3 = \frac{a + b + c}{a + b} + \frac{a + b + c}{b + c} + \frac{a + b + c}{a + c}$
Вынесем общий множитель $(a + b + c)$ за скобки:
$E + 3 = (a + b + c) \left(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c}\right)$
Согласно условию задачи, нам известны значения выражений в скобках:
$a + b + c = 9$
$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = \frac{5}{6}$
Подставим эти значения в полученное равенство:
$E + 3 = 9 \cdot \frac{5}{6}$
$E + 3 = \frac{45}{6}$
Сократим дробь $\frac{45}{6}$ на 3:
$E + 3 = \frac{15}{2}$
Теперь выразим $E$:
$E = \frac{15}{2} - 3$
$E = \frac{15}{2} - \frac{6}{2} = \frac{15 - 6}{2} = \frac{9}{2}$
Таким образом, значение искомого выражения равно $\frac{9}{2}$ или 4,5.
Ответ: $\frac{9}{2}$

55. Куб с длиной ребра в 1 м распилили на кубики с ребром в 1 см. Если выложить в ряд полученные кубики, то какой длины получится ряд?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала мы определим, сколько маленьких кубиков можно получить из одного большого куба. Затем, зная их общее количество, мы сможем вычислить общую длину ряда, если выложить все кубики в одну линию.

1. Первым делом необходимо привести длины ребер обоих кубов к единой единице измерения. Удобнее всего использовать сантиметры, так как ребро маленького кубика задано в сантиметрах.
Длина ребра большого куба: $a_{большой} = 1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Длина ребра маленького кубика: $a_{маленький} = 1 \text{ см}$.

2. Теперь рассчитаем общее количество маленьких кубиков, которые получатся из большого. Это можно сделать, сравнив их объемы. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра.
Объем большого куба: $V_{большой} = (100 \text{ см})^3 = 100 \times 100 \times 100 = 1 000 000 \text{ см}^3$.
Объем одного маленького кубика: $V_{маленький} = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$.
Чтобы найти количество маленьких кубиков $N$, разделим объем большого куба на объем маленького:
$N = \frac{V_{большой}}{V_{маленький}} = \frac{1 000 000 \text{ см}^3}{1 \text{ см}^3} = 1 000 000$.
Таким образом, после распиливания получится $1 000 000$ маленьких кубиков.

3. Если выложить все эти кубики в один ряд вплотную друг к другу, то общая длина ряда $L$ будет равна произведению количества кубиков $N$ на длину ребра одного маленького кубика $a_{маленький}$:
$L = N \times a_{маленький} = 1 000 000 \times 1 \text{ см} = 1 000 000 \text{ см}$.

4. Полученный результат можно для наглядности представить в более крупных единицах измерения — метрах (м) и километрах (км).
В 1 метре 100 сантиметров, значит: $L = 1 000 000 \text{ см} = \frac{1 000 000}{100} \text{ м} = 10 000 \text{ м}$.
В 1 километре 1000 метров, значит: $L = 10 000 \text{ м} = \frac{10 000}{1000} \text{ км} = 10 \text{ км}$.

Ответ: Длина ряда получится $1 000 000$ см, что составляет $10 000$ м или $10$ км.

56. После каждой стирки кусок мыла уменьшается на $20\%$. После скольких стирок кусок мыла уменьшится не менее чем на $\frac{2}{3}$? Найдите наименьшее такое число.

Пусть начальная масса куска мыла равна $M_0$.

После каждой стирки масса мыла уменьшается на 20%, следовательно, от нее остается $100\% - 20\% = 80\%$. Это означает, что после каждой стирки масса умножается на коэффициент $0.8$.

Масса мыла после $n$ стирок, $M_n$, представляет собой член геометрической прогрессии и может быть вычислена по формуле:$M_n = M_0 \cdot (0.8)^n$.

По условию задачи, кусок мыла должен уменьшиться не менее чем на две трети. Уменьшение массы составляет $M_0 - M_n$. Таким образом, мы должны решить неравенство:$M_0 - M_n \ge \frac{2}{3} M_0$.

Подставим выражение для $M_n$ в неравенство:$M_0 - M_0 \cdot (0.8)^n \ge \frac{2}{3} M_0$.

Поскольку начальная масса $M_0$ положительна, мы можем разделить обе части неравенства на $M_0$:$1 - (0.8)^n \ge \frac{2}{3}$.

Преобразуем неравенство, чтобы выделить $(0.8)^n$:$1 - \frac{2}{3} \ge (0.8)^n$$\frac{1}{3} \ge (0.8)^n$.

Итак, нам нужно найти наименьшее целое число $n$, для которого выполняется неравенство $(0.8)^n \le \frac{1}{3}$. Будем подбирать значения $n$ по порядку:

При $n=1$: $(0.8)^1 = 0.8$. Так как $0.8 > \frac{1}{3}$ (примерно $0.333$), это значение не подходит.

При $n=2$: $(0.8)^2 = 0.64$. Так как $0.64 > \frac{1}{3}$, это значение не подходит.

При $n=3$: $(0.8)^3 = 0.512$. Так как $0.512 > \frac{1}{3}$, это значение не подходит.

При $n=4$: $(0.8)^4 = 0.4096$. Так как $0.4096 > \frac{1}{3}$, это значение не подходит.

При $n=5$: $(0.8)^5 = 0.32768$. Так как $0.32768 < \frac{1}{3}$ (поскольку $1/3 \approx 0.333...$), это значение удовлетворяет условию.

Следовательно, наименьшее количество стирок, после которого масса куска мыла уменьшится не менее чем на две трети, равно 5.

Ответ: 5

57. Докажите, что числовое выражение $7^{2017} - 3^{2017}$ делится на 10.

Для того чтобы доказать, что числовое выражение делится на 10, необходимо и достаточно доказать, что его последняя цифра равна 0. Найдем последнюю цифру выражения $7^{2017} - 3^{2017}$, проанализировав последние цифры его составляющих.

1. Найдем последнюю цифру числа $7^{2017}$.

Рассмотрим, как меняется последняя цифра при возведении числа 7 в натуральную степень:

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$ (оканчивается на 9)

$7^3 = 343$ (оканчивается на 3)

$7^4 = 2401$ (оканчивается на 1)

$7^5 = 16807$ (оканчивается на 7)

Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Чтобы определить последнюю цифру $7^{2017}$, найдем остаток от деления показателя степени 2017 на 4.

$2017 \div 4 = 504$ (остаток 1)

Поскольку остаток равен 1, последняя цифра числа $7^{2017}$ будет такой же, как у первого числа в цикле, то есть 7.

2. Найдем последнюю цифру числа $3^{2017}$.

Аналогично рассмотрим степени числа 3:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)

$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)

$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Последние цифры степеней числа 3 также повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Так как показатель степени 2017 при делении на 4 дает в остатке 1, последняя цифра числа $3^{2017}$ будет такой же, как у первого числа в цикле, то есть 3.

3. Найдем последнюю цифру разности $7^{2017} - 3^{2017}$.

Число $7^{2017}$ оканчивается на 7.

Число $3^{2017}$ оканчивается на 3.

Следовательно, их разность $7^{2017} - 3^{2017}$ будет оканчиваться на ту же цифру, что и разность их последних цифр: $7 - 3 = 4$.

Вывод.

Последняя цифра числового выражения $7^{2017} - 3^{2017}$ равна 4. Число делится на 10 только в том случае, если его последняя цифра — 0. Поскольку последняя цифра равна 4, данное выражение не делится на 10. Таким образом, утверждение, приведенное в задаче, является неверным.

Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы в выражении стоял знак плюс, то есть $7^{2017} + 3^{2017}$, то его последняя цифра была бы равна последней цифре суммы $7 + 3 = 10$, то есть 0, и такое выражение делилось бы на 10.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Числовое выражение $7^{2017} - 3^{2017}$ оканчивается на 4 и, следовательно, не делится на 10.

58. При каких натуральных значениях n дробное выражение является целым числом:

1) $\frac{n^2 - n + 3}{n + 1}$;

2) $\frac{2n^2 - 3n + 2}{2n - 1}$?

1) Чтобы дробное выражение $\frac{n^2 - n + 3}{n + 1}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. Выделим целую часть дроби, преобразовав числитель:

$n^2 - n + 3 = (n^2 + n) - 2n + 3 = n(n+1) - 2n + 3 = n(n+1) - (2n + 2) + 5 = n(n+1) - 2(n+1) + 5 = (n-2)(n+1) + 5$.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{(n-2)(n+1) + 5}{n + 1} = \frac{(n-2)(n+1)}{n+1} + \frac{5}{n+1} = n - 2 + \frac{5}{n+1}$.

По условию, $n$ — натуральное число, поэтому $n \ge 1$. Это значит, что выражение $n-2$ является целым числом. Чтобы сумма $n - 2 + \frac{5}{n+1}$ была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{5}{n+1}$ также было целым. Это возможно только в том случае, если знаменатель $n+1$ является делителем числа 5.

Делители числа 5: $1, -1, 5, -5$.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $n+1 \ge 2$. Из всех делителей числа 5 этому условию удовлетворяет только число 5.

Следовательно, $n+1 = 5$, откуда $n = 4$.

Проверим найденное значение. При $n=4$ выражение равно $\frac{4^2 - 4 + 3}{4+1} = \frac{16 - 4 + 3}{5} = \frac{15}{5} = 3$, что является целым числом.

Ответ: $n=4$.

2) Рассмотрим второе выражение $\frac{2n^2 - 3n + 2}{2n - 1}$. Аналогично первому пункту, выделим целую часть дроби путем деления многочлена в числителе на многочлен в знаменателе.

$\frac{2n^2 - 3n + 2}{2n - 1} = \frac{n(2n-1) - 2n + 2}{2n-1} = \frac{n(2n-1)}{2n-1} + \frac{-2n+2}{2n-1} = n + \frac{-(2n-2)}{2n-1} = n + \frac{-(2n-1)+1}{2n-1} = n - \frac{2n-1}{2n-1} + \frac{1}{2n-1} = n - 1 + \frac{1}{2n-1}$.

Так как $n$ — натуральное число, $n-1$ является целым числом. Чтобы все выражение было целым, дробь $\frac{1}{2n-1}$ также должна быть целым числом. Это возможно, только если знаменатель $2n-1$ является делителем числа 1.

Делители числа 1: $1, -1$.

Рассмотрим два случая:

1. $2n-1 = 1 \implies 2n = 2 \implies n = 1$. Это натуральное число.

2. $2n-1 = -1 \implies 2n = 0 \implies n = 0$. Это значение не является натуральным.

Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором выражение является целым числом, это $n=1$.

Проверим найденное значение. При $n=1$ выражение равно $\frac{2(1)^2 - 3(1) + 2}{2(1)-1} = \frac{2-3+2}{1} = \frac{1}{1} = 1$, что является целым числом.

Ответ: $n=1$.

59. Докажите, что при любом натуральном n:

1) $7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n$ кратно 19;

2) $6^{2n} + 3^n + 3^{n+2}$ кратно 11;

3) $8^n + 5^n - 2^{n+1}$ кратно 3;

4) $3^n + 5^n + 7^n + 9^n$ кратно 4.

1) Докажем, что выражение $7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n$ кратно 19 при любом натуральном $n$.

Для доказательства воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Нам необходимо показать, что $7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n \equiv 0 \pmod{19}$.

Сначала преобразуем первый член выражения: $5^{2n} = (5^2)^n = 25^n$.

Теперь выражение имеет вид: $7 \cdot 25^n + 12 \cdot 6^n$.

Рассмотрим основание степени $25$ по модулю 19.

$25 = 1 \cdot 19 + 6$, из чего следует, что $25 \equiv 6 \pmod{19}$.

Подставим это в наше выражение, рассматривая его по модулю 19:

$7 \cdot 25^n + 12 \cdot 6^n \equiv 7 \cdot 6^n + 12 \cdot 6^n \pmod{19}$.

Вынесем общий множитель $6^n$ за скобки:

$(7 + 12) \cdot 6^n = 19 \cdot 6^n$.

Поскольку выражение $19 \cdot 6^n$ содержит множитель 19, оно делится на 19 нацело.

$19 \cdot 6^n \equiv 0 \pmod{19}$.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 19 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что выражение $6^{2n} + 3^n + 3^{n+2}$ кратно 11 при любом натуральном $n$.

Мы должны доказать, что $6^{2n} + 3^n + 3^{n+2} \equiv 0 \pmod{11}$.

Упростим выражение:

$6^{2n} = (6^2)^n = 36^n$.

$3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n$.

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$36^n + 3^n + 9 \cdot 3^n = 36^n + (1+9) \cdot 3^n = 36^n + 10 \cdot 3^n$.

Теперь рассмотрим коэффициенты и основания степеней по модулю 11:

$36 = 3 \cdot 11 + 3$, следовательно, $36 \equiv 3 \pmod{11}$.

$10 \equiv -1 \pmod{11}$.

Подставим эти сравнения в наше выражение:

$36^n + 10 \cdot 3^n \equiv 3^n + (-1) \cdot 3^n \pmod{11}$.

$3^n - 3^n = 0$.

Следовательно, $6^{2n} + 3^n + 3^{n+2} \equiv 0 \pmod{11}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что выражение $8^n + 5^n - 2^{n+1}$ кратно 3 при любом натуральном $n$.

Используем сравнения по модулю 3. Нам нужно показать, что $8^n + 5^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{3}$.

Упростим последний член: $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$.

Рассмотрим основания степеней по модулю 3:

$8 = 2 \cdot 3 + 2$, следовательно, $8 \equiv 2 \pmod{3}$.

$5 = 1 \cdot 3 + 2$, следовательно, $5 \equiv 2 \pmod{3}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$8^n + 5^n - 2^{n+1} \equiv 2^n + 2^n - 2 \cdot 2^n \pmod{3}$.

Сгруппируем члены с $2^n$:

$2 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n = 0$.

Таким образом, $8^n + 5^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{3}$ для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что выражение $3^n + 5^n + 7^n + 9^n$ кратно 4 при любом натуральном $n$.

Докажем, что $3^n + 5^n + 7^n + 9^n \equiv 0 \pmod{4}$.

Рассмотрим каждое слагаемое по модулю 4:

$3 \equiv -1 \pmod{4}$.

$5 \equiv 1 \pmod{4}$.

$7 \equiv -1 \pmod{4}$.

$9 \equiv 1 \pmod{4}$.

Подставим эти сравнения в исходную сумму:

$3^n + 5^n + 7^n + 9^n \equiv (-1)^n + 1^n + (-1)^n + 1^n \pmod{4}$.

Так как $1^n = 1$ для любого натурального $n$, выражение упрощается до:

$(-1)^n + 1 + (-1)^n + 1 = 2 \cdot (-1)^n + 2$.

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.

Случай 1: n — четное число.

Пусть $n=2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$.

Сумма по модулю 4 равна: $2 \cdot 1 + 2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}$.

Случай 2: n — нечетное число.

Пусть $n=2k-1$, где $k$ — натуральное число. Тогда $(-1)^n = (-1)^{2k-1} = -1$.

Сумма по модулю 4 равна: $2 \cdot (-1) + 2 = -2 + 2 = 0 \equiv 0 \pmod{4}$.

Поскольку выражение кратно 4 как для четных, так и для нечетных натуральных $n$, оно кратно 4 для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

60. Вычислите $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2016 \cdot 2017}$.

Данная сумма является примером телескопического ряда. Для ее вычисления представим каждый член суммы в виде разности двух дробей. Общий член ряда имеет вид $ \frac{1}{n(n+1)} $.

Разложим эту дробь на простейшие дроби. Мы ищем представление в виде:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} $

Чтобы найти коэффициенты A и B, приведем правую часть к общему знаменателю:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A(n+1) + B \cdot n}{n(n+1)} $

Числители должны быть равны, поэтому:

$ 1 = A(n+1) + Bn $

Это равенство должно выполняться для любого значения $n$. Подставим удобные значения $n$:

• При $ n = 0 $, получаем $ 1 = A(0+1) + B \cdot 0 \implies 1 = A $.
• При $ n = -1 $, получаем $ 1 = A(-1+1) + B(-1) \implies 1 = -B \implies B = -1 $.

Таким образом, мы получили, что каждое слагаемое можно представить в виде:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $

Теперь запишем исходную сумму, используя это разложение для каждого члена:

$ S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2016 \cdot 2017} $

$ S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2016} - \frac{1}{2017}) $

Как видно из разложения, все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $ -\frac{1}{2} $ сокращается с $ +\frac{1}{2} $, $ -\frac{1}{3} $ с $ +\frac{1}{3} $, и так далее. Этот процесс продолжается до последнего члена. В результате остаются только первый член первого слагаемого и последний член последнего слагаемого:

$ S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2017} $

Выполним вычитание:

$ S = 1 - \frac{1}{2017} = \frac{2017}{2017} - \frac{1}{2017} = \frac{2017 - 1}{2017} = \frac{2016}{2017} $

Ответ: $ \frac{2016}{2017} $

61. Докажите, что $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{2017^2} < \frac{2016}{2017}$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом оценки суммы. Идея состоит в том, чтобы заменить каждый член в левой части на немного больший, так, чтобы новая полученная сумма легко вычислялась и была равна правой части неравенства.

Обозначим сумму в левой части неравенства как $S$:

$S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{2017^2}$

Рассмотрим общий член суммы $\frac{1}{n^2}$ для $n \ge 2$. Для любого целого числа $n > 1$ справедливо, что $n^2 > n^2 - n = n(n-1)$.

Поскольку обе части этого неравенства положительны, мы можем взять от них обратные величины, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}$

Теперь мы можем оценить сумму $S$ сверху, заменив каждый ее член на соответствующую бо́льшую дробь:

$S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{2017^2} < \frac{1}{2(2-1)} + \frac{1}{3(3-1)} + \dots + \frac{1}{2017(2017-1)}$

Упростим знаменатели в правой части:

$S < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2016 \cdot 2017}$

Сумма в правой части является телескопической. Чтобы ее вычислить, представим каждую дробь вида $\frac{1}{k(k-1)}$ как разность двух дробей (метод неопределенных коэффициентов или простое наблюдение):

$\frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$

Применим это разложение к каждому слагаемому в нашей оценке:

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2016 \cdot 2017} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{2016} - \frac{1}{2017})$

Как видно, все промежуточные члены взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний:

$1 - \frac{1}{2017} = \frac{2017}{2017} - \frac{1}{2017} = \frac{2016}{2017}$

Таким образом, мы показали, что

$S < \frac{2016}{2017}$

что и является исходным неравенством:

$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{2017^2} < \frac{2016}{2017}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.