Номер 61, страница 279 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

61. Докажите, что $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{2017^2} < \frac{2016}{2017}$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом оценки суммы. Идея состоит в том, чтобы заменить каждый член в левой части на немного больший, так, чтобы новая полученная сумма легко вычислялась и была равна правой части неравенства.

Обозначим сумму в левой части неравенства как $S$:

$S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{2017^2}$

Рассмотрим общий член суммы $\frac{1}{n^2}$ для $n \ge 2$. Для любого целого числа $n > 1$ справедливо, что $n^2 > n^2 - n = n(n-1)$.

Поскольку обе части этого неравенства положительны, мы можем взять от них обратные величины, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}$

Теперь мы можем оценить сумму $S$ сверху, заменив каждый ее член на соответствующую бо́льшую дробь:

$S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{2017^2} < \frac{1}{2(2-1)} + \frac{1}{3(3-1)} + \dots + \frac{1}{2017(2017-1)}$

Упростим знаменатели в правой части:

$S < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2016 \cdot 2017}$

Сумма в правой части является телескопической. Чтобы ее вычислить, представим каждую дробь вида $\frac{1}{k(k-1)}$ как разность двух дробей (метод неопределенных коэффициентов или простое наблюдение):

$\frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$

Применим это разложение к каждому слагаемому в нашей оценке:

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2016 \cdot 2017} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{2016} - \frac{1}{2017})$

Как видно, все промежуточные члены взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний:

$1 - \frac{1}{2017} = \frac{2017}{2017} - \frac{1}{2017} = \frac{2016}{2017}$

Таким образом, мы показали, что

$S < \frac{2016}{2017}$

что и является исходным неравенством:

$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{2017^2} < \frac{2016}{2017}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.