Номер 60, страница 279 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

60. Вычислите $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2016 \cdot 2017}$.

Данная сумма является примером телескопического ряда. Для ее вычисления представим каждый член суммы в виде разности двух дробей. Общий член ряда имеет вид $ \frac{1}{n(n+1)} $.

Разложим эту дробь на простейшие дроби. Мы ищем представление в виде:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} $

Чтобы найти коэффициенты A и B, приведем правую часть к общему знаменателю:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A(n+1) + B \cdot n}{n(n+1)} $

Числители должны быть равны, поэтому:

$ 1 = A(n+1) + Bn $

Это равенство должно выполняться для любого значения $n$. Подставим удобные значения $n$:

• При $ n = 0 $, получаем $ 1 = A(0+1) + B \cdot 0 \implies 1 = A $.
• При $ n = -1 $, получаем $ 1 = A(-1+1) + B(-1) \implies 1 = -B \implies B = -1 $.

Таким образом, мы получили, что каждое слагаемое можно представить в виде:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $

Теперь запишем исходную сумму, используя это разложение для каждого члена:

$ S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2016 \cdot 2017} $

$ S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2016} - \frac{1}{2017}) $

Как видно из разложения, все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $ -\frac{1}{2} $ сокращается с $ +\frac{1}{2} $, $ -\frac{1}{3} $ с $ +\frac{1}{3} $, и так далее. Этот процесс продолжается до последнего члена. В результате остаются только первый член первого слагаемого и последний член последнего слагаемого:

$ S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2017} $

Выполним вычитание:

$ S = 1 - \frac{1}{2017} = \frac{2017}{2017} - \frac{1}{2017} = \frac{2017 - 1}{2017} = \frac{2016}{2017} $

Ответ: $ \frac{2016}{2017} $