Номер 57, страница 279 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

57. Докажите, что числовое выражение $7^{2017} - 3^{2017}$ делится на 10.

Для того чтобы доказать, что числовое выражение делится на 10, необходимо и достаточно доказать, что его последняя цифра равна 0. Найдем последнюю цифру выражения $7^{2017} - 3^{2017}$, проанализировав последние цифры его составляющих.

1. Найдем последнюю цифру числа $7^{2017}$.

Рассмотрим, как меняется последняя цифра при возведении числа 7 в натуральную степень:

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$ (оканчивается на 9)

$7^3 = 343$ (оканчивается на 3)

$7^4 = 2401$ (оканчивается на 1)

$7^5 = 16807$ (оканчивается на 7)

Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Чтобы определить последнюю цифру $7^{2017}$, найдем остаток от деления показателя степени 2017 на 4.

$2017 \div 4 = 504$ (остаток 1)

Поскольку остаток равен 1, последняя цифра числа $7^{2017}$ будет такой же, как у первого числа в цикле, то есть 7.

2. Найдем последнюю цифру числа $3^{2017}$.

Аналогично рассмотрим степени числа 3:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)

$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)

$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Последние цифры степеней числа 3 также повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Так как показатель степени 2017 при делении на 4 дает в остатке 1, последняя цифра числа $3^{2017}$ будет такой же, как у первого числа в цикле, то есть 3.

3. Найдем последнюю цифру разности $7^{2017} - 3^{2017}$.

Число $7^{2017}$ оканчивается на 7.

Число $3^{2017}$ оканчивается на 3.

Следовательно, их разность $7^{2017} - 3^{2017}$ будет оканчиваться на ту же цифру, что и разность их последних цифр: $7 - 3 = 4$.

Вывод.

Последняя цифра числового выражения $7^{2017} - 3^{2017}$ равна 4. Число делится на 10 только в том случае, если его последняя цифра — 0. Поскольку последняя цифра равна 4, данное выражение не делится на 10. Таким образом, утверждение, приведенное в задаче, является неверным.

Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы в выражении стоял знак плюс, то есть $7^{2017} + 3^{2017}$, то его последняя цифра была бы равна последней цифре суммы $7 + 3 = 10$, то есть 0, и такое выражение делилось бы на 10.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Числовое выражение $7^{2017} - 3^{2017}$ оканчивается на 4 и, следовательно, не делится на 10.