Номер 59, страница 279 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

59. Докажите, что при любом натуральном n:

1) $7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n$ кратно 19;

2) $6^{2n} + 3^n + 3^{n+2}$ кратно 11;

3) $8^n + 5^n - 2^{n+1}$ кратно 3;

4) $3^n + 5^n + 7^n + 9^n$ кратно 4.

1) Докажем, что выражение $7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n$ кратно 19 при любом натуральном $n$.

Для доказательства воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Нам необходимо показать, что $7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n \equiv 0 \pmod{19}$.

Сначала преобразуем первый член выражения: $5^{2n} = (5^2)^n = 25^n$.

Теперь выражение имеет вид: $7 \cdot 25^n + 12 \cdot 6^n$.

Рассмотрим основание степени $25$ по модулю 19.

$25 = 1 \cdot 19 + 6$, из чего следует, что $25 \equiv 6 \pmod{19}$.

Подставим это в наше выражение, рассматривая его по модулю 19:

$7 \cdot 25^n + 12 \cdot 6^n \equiv 7 \cdot 6^n + 12 \cdot 6^n \pmod{19}$.

Вынесем общий множитель $6^n$ за скобки:

$(7 + 12) \cdot 6^n = 19 \cdot 6^n$.

Поскольку выражение $19 \cdot 6^n$ содержит множитель 19, оно делится на 19 нацело.

$19 \cdot 6^n \equiv 0 \pmod{19}$.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 19 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что выражение $6^{2n} + 3^n + 3^{n+2}$ кратно 11 при любом натуральном $n$.

Мы должны доказать, что $6^{2n} + 3^n + 3^{n+2} \equiv 0 \pmod{11}$.

Упростим выражение:

$6^{2n} = (6^2)^n = 36^n$.

$3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n$.

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$36^n + 3^n + 9 \cdot 3^n = 36^n + (1+9) \cdot 3^n = 36^n + 10 \cdot 3^n$.

Теперь рассмотрим коэффициенты и основания степеней по модулю 11:

$36 = 3 \cdot 11 + 3$, следовательно, $36 \equiv 3 \pmod{11}$.

$10 \equiv -1 \pmod{11}$.

Подставим эти сравнения в наше выражение:

$36^n + 10 \cdot 3^n \equiv 3^n + (-1) \cdot 3^n \pmod{11}$.

$3^n - 3^n = 0$.

Следовательно, $6^{2n} + 3^n + 3^{n+2} \equiv 0 \pmod{11}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что выражение $8^n + 5^n - 2^{n+1}$ кратно 3 при любом натуральном $n$.

Используем сравнения по модулю 3. Нам нужно показать, что $8^n + 5^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{3}$.

Упростим последний член: $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$.

Рассмотрим основания степеней по модулю 3:

$8 = 2 \cdot 3 + 2$, следовательно, $8 \equiv 2 \pmod{3}$.

$5 = 1 \cdot 3 + 2$, следовательно, $5 \equiv 2 \pmod{3}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$8^n + 5^n - 2^{n+1} \equiv 2^n + 2^n - 2 \cdot 2^n \pmod{3}$.

Сгруппируем члены с $2^n$:

$2 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n = 0$.

Таким образом, $8^n + 5^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{3}$ для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что выражение $3^n + 5^n + 7^n + 9^n$ кратно 4 при любом натуральном $n$.

Докажем, что $3^n + 5^n + 7^n + 9^n \equiv 0 \pmod{4}$.

Рассмотрим каждое слагаемое по модулю 4:

$3 \equiv -1 \pmod{4}$.

$5 \equiv 1 \pmod{4}$.

$7 \equiv -1 \pmod{4}$.

$9 \equiv 1 \pmod{4}$.

Подставим эти сравнения в исходную сумму:

$3^n + 5^n + 7^n + 9^n \equiv (-1)^n + 1^n + (-1)^n + 1^n \pmod{4}$.

Так как $1^n = 1$ для любого натурального $n$, выражение упрощается до:

$(-1)^n + 1 + (-1)^n + 1 = 2 \cdot (-1)^n + 2$.

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.

Случай 1: n — четное число.

Пусть $n=2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$.

Сумма по модулю 4 равна: $2 \cdot 1 + 2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}$.

Случай 2: n — нечетное число.

Пусть $n=2k-1$, где $k$ — натуральное число. Тогда $(-1)^n = (-1)^{2k-1} = -1$.

Сумма по модулю 4 равна: $2 \cdot (-1) + 2 = -2 + 2 = 0 \equiv 0 \pmod{4}$.

Поскольку выражение кратно 4 как для четных, так и для нечетных натуральных $n$, оно кратно 4 для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.