Номер 38.4, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.4. Приведите алгебраическую дробь:

1) $\frac{2y}{a - b}$ к дроби со знаменателем $(a - b)^2$;

2) $\frac{-3x}{x + a}$ к дроби со знаменателем $x^2 - a^2$;

3) $\frac{5a}{y - 1}$ к дроби со знаменателем $y^3 - 1$;

4) $\frac{4b}{a^2 + ab + b^2}$ к дроби со знаменателем $a^3 - b^3$;

5) $\frac{9y}{y - b}$ к дроби со знаменателем $b - y$;

6) $\frac{-5x}{x - 10}$ к дроби со знаменателем $10 - x$;

7) $\frac{-4p}{p + 2}$ к дроби со знаменателем $4 - p^2$;

8) $\frac{2a + 3}{6 - 2a}$ к дроби со знаменателем $2(a^2 - 9)$;

9) $\frac{7a}{3xy^2}$ к дроби со знаменателем $15x^2y^3$;

10) $\frac{11}{x + 1}$ к дроби со знаменателем $x^3 + 1$.

1) Чтобы привести дробь $ \frac{2y}{a-b} $ к знаменателю $ (a-b)^2 $, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на старый: $ \frac{(a-b)^2}{a-b} = a-b $. Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель: $ \frac{2y \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{2y(a-b)}{(a-b)^2} $.
Ответ: $ \frac{2y(a-b)}{(a-b)^2} $.

2) Чтобы привести дробь $ \frac{-3x}{x+a} $ к знаменателю $ x^2-a^2 $, сначала разложим новый знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $ x^2-a^2 = (x-a)(x+a) $. Дополнительный множитель равен частному от деления нового знаменателя на старый: $ \frac{(x-a)(x+a)}{x+a} = x-a $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ (x-a) $: $ \frac{-3x \cdot (x-a)}{(x+a) \cdot (x-a)} = \frac{-3x(x-a)}{x^2-a^2} $.
Ответ: $ \frac{-3x(x-a)}{x^2-a^2} $.

3) Приводим дробь $ \frac{5a}{y-1} $ к знаменателю $ y^3-1 $. Разложим новый знаменатель по формуле разности кубов: $ y^3 - 1 = (y-1)(y^2+y+1) $. Дополнительный множитель: $ \frac{y^3-1}{y-1} = y^2+y+1 $. Умножаем числитель и знаменатель исходной дроби на $ (y^2+y+1) $: $ \frac{5a \cdot (y^2+y+1)}{(y-1) \cdot (y^2+y+1)} = \frac{5a(y^2+y+1)}{y^3-1} $.
Ответ: $ \frac{5a(y^2+y+1)}{y^3-1} $.

4) Приводим дробь $ \frac{4b}{a^2+ab+b^2} $ к знаменателю $ a^3-b^3 $. Разложим новый знаменатель по формуле разности кубов: $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $. Дополнительный множитель равен $ \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} = a-b $. Умножаем числитель и знаменатель на $ (a-b) $: $ \frac{4b \cdot (a-b)}{(a^2+ab+b^2) \cdot (a-b)} = \frac{4b(a-b)}{a^3-b^3} $.
Ответ: $ \frac{4b(a-b)}{a^3-b^3} $.

5) Чтобы привести дробь $ \frac{9y}{y-b} $ к знаменателю $ b-y $, заметим, что новый знаменатель отличается от старого только знаком: $ b-y = -(y-b) $. Следовательно, дополнительный множитель равен $ \frac{b-y}{y-b} = -1 $. Умножим числитель и знаменатель на $ -1 $: $ \frac{9y \cdot (-1)}{(y-b) \cdot (-1)} = \frac{-9y}{-(y-b)} = \frac{-9y}{b-y} $.
Ответ: $ \frac{-9y}{b-y} $.

6) Чтобы привести дробь $ \frac{-5x}{x-10} $ к знаменателю $ 10-x $, заметим, что $ 10-x = -(x-10) $. Дополнительный множитель равен $ -1 $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ -1 $: $ \frac{-5x \cdot (-1)}{(x-10) \cdot (-1)} = \frac{5x}{-(x-10)} = \frac{5x}{10-x} $.
Ответ: $ \frac{5x}{10-x} $.

7) Приводим дробь $ \frac{-4p}{p+2} $ к знаменателю $ 4-p^2 $. Разложим новый знаменатель по формуле разности квадратов: $ 4-p^2 = (2-p)(2+p) $. Дополнительный множитель: $ \frac{4-p^2}{p+2} = \frac{(2-p)(2+p)}{p+2} = 2-p $. Умножаем числитель и знаменатель на $ (2-p) $: $ \frac{-4p \cdot (2-p)}{(p+2) \cdot (2-p)} = \frac{-4p(2-p)}{4-p^2} $.
Ответ: $ \frac{-4p(2-p)}{4-p^2} $.

8) Приводим дробь $ \frac{2a+3}{6-2a} $ к знаменателю $ 2(a^2-9) $. Сначала разложим на множители оба знаменателя. Старый знаменатель: $ 6-2a = 2(3-a) $. Новый знаменатель: $ 2(a^2-9) = 2(a-3)(a+3) $. Найдем дополнительный множитель: $ \frac{2(a-3)(a+3)}{2(3-a)} = \frac{(a-3)(a+3)}{3-a} $. Так как $ a-3 = -(3-a) $, то множитель равен $ \frac{-(3-a)(a+3)}{3-a} = -(a+3) $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ -(a+3) $: $ \frac{(2a+3) \cdot (-(a+3))}{(6-2a) \cdot (-(a+3))} = \frac{-(2a+3)(a+3)}{-2(3-a)(a+3)} = \frac{-(2a+3)(a+3)}{2(a-3)(a+3)} = \frac{-(2a+3)(a+3)}{2(a^2-9)} $.
Ответ: $ \frac{-(2a+3)(a+3)}{2(a^2-9)} $.

9) Чтобы привести дробь $ \frac{7a}{3xy^2} $ к знаменателю $ 15x^2y^3 $, найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $ \frac{15x^2y^3}{3xy^2} = 5xy $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ 5xy $: $ \frac{7a \cdot 5xy}{3xy^2 \cdot 5xy} = \frac{35axy}{15x^2y^3} $.
Ответ: $ \frac{35axy}{15x^2y^3} $.

10) Приводим дробь $ \frac{11}{x+1} $ к знаменателю $ x^3+1 $. Разложим новый знаменатель по формуле суммы кубов: $ x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) $. Дополнительный множитель: $ \frac{x^3+1}{x+1} = x^2-x+1 $. Умножаем числитель и знаменатель на $ (x^2-x+1) $: $ \frac{11 \cdot (x^2-x+1)}{(x+1) \cdot (x^2-x+1)} = \frac{11(x^2-x+1)}{x^3+1} $.
Ответ: $ \frac{11(x^2-x+1)}{x^3+1} $.