Страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Верно ли, что:

— любое дробное выражение является рациональным выражением;

— любое рациональное выражение является дробным выражением;

— любое рациональное выражение является целым выражением;

— любое целое выражение является рациональным выражением;

— любая алгебраическая дробь является дробным выражением;

— любой многочлен является целым выражением?

2. Какие значения переменных рационального выражения могут быть недопустимыми?

— любое дробное выражение является рациональным выражением;Рациональные выражения представляют собой множество алгебраических выражений, которое состоит из двух подмножеств: целых выражений и дробных выражений. Целые выражения не содержат деления на переменную (например, $x^2 + 5y$), в то время как дробные выражения обязательно содержат деление на выражение с переменной (например, $\frac{a}{b+1}$). Так как дробные выражения являются составной частью рациональных выражений, данное утверждение истинно по определению.
Ответ: Да, верно.

— любое рациональное выражение является дробным выражением;Это утверждение неверно. Множество рациональных выражений включает в себя также и целые выражения. Например, многочлен $x+5$ является рациональным выражением, так как его можно представить в виде дроби $\frac{x+5}{1}$. Однако он не является дробным, поскольку не содержит деления на переменную. Таким образом, существуют рациональные выражения, которые не являются дробными.
Ответ: Нет, неверно.

— любое рациональное выражение является целым выражением;Это утверждение неверно. Множество рациональных выражений включает в себя и дробные выражения. Например, выражение $\frac{7}{x-2}$ является рациональным, но оно не является целым, так как содержит деление на переменную $x$. Следовательно, не все рациональные выражения являются целыми.
Ответ: Нет, неверно.

— любое целое выражение является рациональным выражением;Да, это верно. Целое выражение — это выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. Любое целое выражение $P$ можно представить в виде отношения двух многочленов, записав его со знаменателем 1, то есть как $\frac{P}{1}$. Это полностью соответствует определению рационального выражения.
Ответ: Да, верно.

— любая алгебраическая дробь является дробным выражением;Это утверждение неверно. Алгебраическая дробь имеет вид $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причем $Q \neq 0$. Дробным выражением называется то, которое содержит деление на переменную. Если знаменатель $Q$ алгебраической дроби является числом (многочленом нулевой степени), то такое выражение не является дробным. Например, $\frac{x^2+3}{2}$ — это алгебраическая дробь, но в то же время это целое выражение (многочлен $\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$), а не дробное.
Ответ: Нет, неверно.

— любой многочлен является целым выражением?Да, это верно. По определению, многочлен — это сумма одночленов. Он составляется с помощью операций сложения, вычитания и умножения чисел и переменных. Определение целого выражения гласит, что оно не содержит деления на переменную. Так как в многочленах такая операция отсутствует, любой многочлен является целым выражением.
Ответ: Да, верно.

2. Какие значения переменных рационального выражения могут быть недопустимыми?Рациональное выражение чаще всего представлено в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены. В математике операция деления на ноль не определена. Поэтому рациональное выражение теряет смысл при тех значениях входящих в него переменных, которые обращают его знаменатель $Q$ в ноль. Такие значения переменных называются недопустимыми. Чтобы их найти, нужно приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение $Q=0$. Например, для дроби $\frac{a+4}{a-1}$ недопустимым значением является $a=1$, так как при этом значении знаменатель становится равным нулю. У целых выражений, знаменатель которых можно считать равным 1, недопустимых значений нет.
Ответ: Недопустимыми являются те значения переменных, при которых знаменатель рационального выражения обращается в ноль.

37.1. Выберите дробно-рациональные выражения из выражений:

1) $\frac{2x}{3} + \frac{4}{7}$;

2) $\frac{2 - 5x}{7,3} - \frac{4x + 3}{3}$;

3) $\frac{3}{x - 2}$;

4) $\frac{3x + 4}{x - 2} + \frac{x}{7}$;

5) $\frac{3y}{2,7 - \frac{3}{7}}$;

6) $\frac{4y - 5}{3 - 0,2y} + \frac{2y - 3}{8}$;

Дробно-рациональными называются выражения, которые содержат деление на выражение с переменной. Иными словами, это выражения, у которых переменная присутствует в знаменателе дроби. Рациональные выражения, у которых в знаменателе нет переменных (только числа), называются целыми выражениями.

Проанализируем каждое из предложенных выражений:

1) В выражении $\frac{2x}{3} + \frac{4}{7}$ знаменатели дробей (3 и 7) являются числами и не содержат переменных. Следовательно, это целое выражение.
Ответ: не является дробно-рациональным выражением.

2) В выражении $\frac{2 - 5x}{7,3} - \frac{4x + 3}{3}$ знаменатели дробей (7,3 и 3) являются числами и не содержат переменных. Следовательно, это целое выражение.
Ответ: не является дробно-рациональным выражением.

3) В выражении $\frac{3}{x - 2}$ знаменатель $x - 2$ содержит переменную $x$. Следовательно, это дробно-рациональное выражение.
Ответ: является дробно-рациональным выражением.

4) Выражение $\frac{3x + 4}{x - 2} + \frac{x}{7}$ состоит из двух слагаемых. В первом слагаемом $\frac{3x + 4}{x - 2}$ знаменатель $x - 2$ содержит переменную $x$. Наличие хотя бы одного такого слагаемого делает всё выражение дробно-рациональным.
Ответ: является дробно-рациональным выражением.

5) В выражении $\frac{3y}{2,7 - \frac{3}{7}}$ знаменатель $2,7 - \frac{3}{7}$ является числовым выражением. Он не содержит переменных. $2,7 - \frac{3}{7} = \frac{27}{10} - \frac{3}{7} = \frac{189 - 30}{70} = \frac{159}{70}$. Это целое выражение.
Ответ: не является дробно-рациональным выражением.

6) В выражении $\frac{4y - 5}{3 - 0,2y} + \frac{2y - 3}{8}$ первое слагаемое $\frac{4y - 5}{3 - 0,2y}$ имеет в знаменателе выражение $3 - 0,2y$, которое содержит переменную $y$. Следовательно, всё выражение является дробно-рациональным.
Ответ: является дробно-рациональным выражением.