Номер 34.16, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.16. Найдите корни уравнения:

1) $x^3 - (x - 3)(x^2 + 3x + 9) + 9x = -18x;$

2) $(x + 4)(16 - 4x + x^2) - x(x^2 + 8) = -192;$

3) $y(y^2 - 5) - (y - 2)(y^2 + 2y + 4) + 3y = 0;$

4) $(5 + y)(25 - 5y + y^2) - 20y - y^3 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^3 - (x - 3)(x^2 + 3x + 9) + 9x = -18x$.
Заметим, что выражение $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ соответствует формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x$ и $b = 3$.
Следовательно, $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$x^3 - (x^3 - 27) + 9x = -18x$.
Раскроем скобки:
$x^3 - x^3 + 27 + 9x = -18x$.
Приведем подобные слагаемые:
$27 + 9x = -18x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$9x + 18x = -27$.
$27x = -27$.
Найдем $x$:
$x = \frac{-27}{27} = -1$.
Ответ: -1.

2) Исходное уравнение: $(x + 4)(16 - 4x + x^2) - x(x^2 + 8) = -192$.
Заметим, что выражение $(x + 4)(16 - 4x + x^2)$ соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = x$ и $b = 4$.
Следовательно, $(x + 4)(x^2 - 4x + 16) = x^3 + 4^3 = x^3 + 64$.
Подставим это выражение в исходное уравнение и раскроем вторые скобки:
$(x^3 + 64) - (x^3 + 8x) = -192$.
Раскроем скобки:
$x^3 + 64 - x^3 - 8x = -192$.
Приведем подобные слагаемые:
$64 - 8x = -192$.
Перенесем 64 в правую часть:
$-8x = -192 - 64$.
$-8x = -256$.
Найдем $x$:
$x = \frac{-256}{-8} = 32$.
Ответ: 32.

3) Исходное уравнение: $y(y^2 - 5) - (y - 2)(y^2 + 2y + 4) + 3y = 0$.
Раскроем первые скобки: $y(y^2 - 5) = y^3 - 5y$.
Выражение $(y - 2)(y^2 + 2y + 4)$ является разностью кубов $y^3 - 2^3 = y^3 - 8$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(y^3 - 5y) - (y^3 - 8) + 3y = 0$.
Раскроем скобки:
$y^3 - 5y - y^3 + 8 + 3y = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-5y + 3y) + 8 = 0$.
$-2y + 8 = 0$.
Перенесем 8 в правую часть:
$-2y = -8$.
Найдем $y$:
$y = \frac{-8}{-2} = 4$.
Ответ: 4.

4) Исходное уравнение: $(5 + y)(25 - 5y + y^2) - 20y - y^3 = 0$.
Выражение $(5 + y)(25 - 5y + y^2)$ является суммой кубов $5^3 + y^3 = 125 + y^3$.
Подставим это выражение в уравнение:
$(125 + y^3) - 20y - y^3 = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$125 - 20y = 0$.
Перенесем 125 в правую часть:
$-20y = -125$.
Найдем $y$:
$y = \frac{-125}{-20} = \frac{125}{20}$.
Сократим дробь на 5:
$y = \frac{25}{4}$.
Ответ: $\frac{25}{4}$.