Номер 34.12, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.12. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $m^3 - n^3 + 2n - 2m;$

2) $3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2;$

3) $x^6 + y^6 + x^2 + y^2;$

4) $a^3 - b^3 + a^2 - b^2;$

5) $x^4 + xy^3 - x^3y - y^4;$

6) $a^4 - a^3b + ab^3 - b^4.$

1) Чтобы представить многочлен $m^3 - n^3 + 2n - 2m$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(m^3 - n^3) + (2n - 2m)$.
К первой группе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, а во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-2$:
$(m-n)(m^2+mn+n^2) - 2(m-n)$.
Теперь мы видим общий множитель $(m-n)$, который можно вынести за скобки:
$(m-n)(m^2+mn+n^2-2)$.
Ответ: $(m-n)(m^2+mn+n^2-2)$.

2) Чтобы представить многочлен $3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(3a^3 - 3b^3) + (5a^2 - 5b^2)$.
Вынесем общие числовые множители из каждой группы:
$3(a^3 - b^3) + 5(a^2 - b^2)$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$3(a-b)(a^2+ab+b^2) + 5(a-b)(a+b)$.
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b)[3(a^2+ab+b^2) + 5(a+b)]$.
Раскроем скобки во втором множителе, чтобы упростить выражение:
$(a-b)(3a^2+3ab+3b^2+5a+5b)$.
Ответ: $(a-b)(3a^2+3ab+3b^2+5a+5b)$.

3) Чтобы представить многочлен $x^6 + y^6 + x^2 + y^2$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(x^6 + y^6) + (x^2 + y^2)$.
Выражение $x^6 + y^6$ можно представить как сумму кубов, заметив, что $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(x^2+y^2)((x^2)^2-x^2y^2+(y^2)^2) + (x^2+y^2) = (x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4) + (x^2+y^2)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x^2+y^2)$ за скобки:
$(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4+1)$.
Ответ: $(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4+1)$.

4) Чтобы представить многочлен $a^3 - b^3 + a^2 - b^2$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(a^3 - b^3) + (a^2 - b^2)$.
Применим формулы разности кубов и разности квадратов:
$(a-b)(a^2+ab+b^2) + (a-b)(a+b)$.
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b)[(a^2+ab+b^2) + (a+b)]$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$(a-b)(a^2+ab+b^2+a+b)$.
Ответ: $(a-b)(a^2+ab+b^2+a+b)$.

5) Чтобы представить многочлен $x^4 + xy^3 - x^3y - y^4$ в виде произведения, сгруппируем его члены. Удобнее сгруппировать первый с третьим, а второй с четвертым: $(x^4 - x^3y) + (xy^3 - y^4)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^3(x-y) + y^3(x-y)$.
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:
$(x-y)(x^3+y^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ ко второму множителю:
$(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

6) Чтобы представить многочлен $a^4 - a^3b + ab^3 - b^4$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a^3(a-b) + b^3(a-b)$.
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b)(a^3+b^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ ко второму множителю:
$(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.