Номер 34.7, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.7. Решите уравнение:

1) $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 8x^3 = 2.7x;$

2) $(3 + 4x)(16x^2 - 12x + 9) - 64x^3 = -10x;$

3) $(5 - 2x)(4x^2 + 10x + 25) = 2.5x - 8x^3;$

4) $(6 - 5x)(36 + 30x + 25x^2) = 108x - 125x^3.$

1) Исходное уравнение: $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 8x^3 = 2,7x$.
Заметим, что выражение $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$ соответствует формуле разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
В данном случае $a = 2x$ и $b = 3$. Проверим: $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$, $ab = (2x)(3) = 6x$, $b^2 = 3^2 = 9$. Все сходится.
Таким образом, $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$.
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$8x^3 - 27 - 8x^3 = 2,7x$
Упростим уравнение, сократив $8x^3$ и $-8x^3$:
$-27 = 2,7x$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{-27}{2,7}$
$x = -10$
Ответ: $-10$.

2) Исходное уравнение: $(3 + 4x)(16x^2 - 12x + 9) - 64x^3 = -10x$.
Заметим, что выражение $(3 + 4x)(16x^2 - 12x + 9)$ соответствует формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.
В данном случае $a = 4x$ и $b = 3$. Проверим: $a^2 = (4x)^2 = 16x^2$, $ab = (4x)(3) = 12x$, $b^2 = 3^2 = 9$. Все сходится.
Таким образом, $(4x + 3)(16x^2 - 12x + 9) = (4x)^3 + 3^3 = 64x^3 + 27$.
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$64x^3 + 27 - 64x^3 = -10x$
Упростим уравнение, сократив $64x^3$ и $-64x^3$:
$27 = -10x$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{27}{-10}$
$x = -2,7$
Ответ: $-2,7$.

3) Исходное уравнение: $(5 - 2x)(4x^2 + 10x + 25) = 2,5x - 8x^3$.
Выражение в левой части уравнения $(5 - 2x)(4x^2 + 10x + 25)$ является формулой разности кубов: $(a-b)(b^2+ab+a^2) = a^3 - b^3$.
В данном случае $a = 5$ и $b = 2x$. Проверим: $a^2 = 5^2 = 25$, $ab = (5)(2x) = 10x$, $b^2 = (2x)^2 = 4x^2$. Все сходится.
Таким образом, $(5 - 2x)(25 + 10x + 4x^2) = 5^3 - (2x)^3 = 125 - 8x^3$.
Подставим полученное выражение в уравнение:
$125 - 8x^3 = 2,5x - 8x^3$
Прибавим к обеим частям уравнения $8x^3$:
$125 = 2,5x$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{125}{2,5}$
$x = \frac{1250}{25}$
$x = 50$
Ответ: $50$.

4) Исходное уравнение: $(6 - 5x)(36 + 30x + 25x^2) = 108x - 125x^3$.
Выражение в левой части уравнения $(6 - 5x)(36 + 30x + 25x^2)$ является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
В данном случае $a = 6$ и $b = 5x$. Проверим: $a^2 = 6^2 = 36$, $ab = (6)(5x) = 30x$, $b^2 = (5x)^2 = 25x^2$. Все сходится.
Таким образом, $(6 - 5x)(36 + 30x + 25x^2) = 6^3 - (5x)^3 = 216 - 125x^3$.
Подставим полученное выражение в уравнение:
$216 - 125x^3 = 108x - 125x^3$
Прибавим к обеим частям уравнения $125x^3$:
$216 = 108x$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{216}{108}$
$x = 2$
Ответ: $2$.