Номер 34.13, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (34.13–34.14):

34.13. 1) $2a^3 + 9 - 2(a+1)(a^2 - a + 1)$;

2) $x(x+2)(x-2) - (x-3)(x^2 + 3x + 9)$;

3) $3(b-1)^2 + (b+2)(b^2 - 2b + 4) - (b+1)^3$;

4) $(a-1)^3 - 4a(a+1)(a-1) + 3(a-1)(a^2 + a + 1).$

1) Для упрощения выражения $2a^3 + 9 - 2(a + 1)(a^2 - a + 1)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

В данном случае, произведение $(a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2)$ равно $a^3 + 1^3$, то есть $a^3 + 1$.

Подставим это в исходное выражение:

$2a^3 + 9 - 2(a^3 + 1)$

Теперь раскроем скобки, умножив $-2$ на каждое слагаемое в них:

$2a^3 + 9 - 2 \cdot a^3 - 2 \cdot 1 = 2a^3 + 9 - 2a^3 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(2a^3 - 2a^3) + (9 - 2) = 0 + 7 = 7$

Ответ: $7$

2) Рассмотрим выражение $x(x + 2)(x - 2) - (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

Первая часть выражения $x(x + 2)(x - 2)$ содержит произведение, которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Тогда первая часть равна: $x(x^2 - 4) = x^3 - 4x$.

Вторая часть выражения $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

$(x - 3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(x^3 - 4x) - (x^3 - 27)$

Раскроем скобки (обращая внимание на знак минус перед ними) и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 4x - x^3 + 27 = (x^3 - x^3) - 4x + 27 = -4x + 27$.

Ответ: $27 - 4x$

3) Упростим выражение $3(b - 1)^2 + (b + 2)(b^2 - 2b + 4) - (b + 1)^3$.

Разберем каждое слагаемое по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.

Первое слагаемое: $3(b - 1)^2$. Используя формулу квадрата разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$, получаем: $3(b^2 - 2b + 1) = 3b^2 - 6b + 3$.

Второе слагаемое: $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)$. Это формула суммы кубов $(a+c)(a^2-ac+c^2)=a^3+c^3$: $(b + 2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = b^3 + 2^3 = b^3 + 8$.

Третье слагаемое: $(b + 1)^3$. Используя формулу куба суммы $(a+c)^3 = a^3+3a^2c+3ac^2+c^3$, получаем: $b^3 + 3b^2 \cdot 1 + 3b \cdot 1^2 + 1^3 = b^3 + 3b^2 + 3b + 1$.

Соберем все вместе:

$(3b^2 - 6b + 3) + (b^3 + 8) - (b^3 + 3b^2 + 3b + 1)$

Раскроем скобки:

$3b^2 - 6b + 3 + b^3 + 8 - b^3 - 3b^2 - 3b - 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 - b^3) + (3b^2 - 3b^2) + (-6b - 3b) + (3 + 8 - 1) = 0 + 0 - 9b + 10 = -9b + 10$.

Ответ: $10 - 9b$

4) Упростим выражение $(a - 1)^3 - 4a(a + 1)(a - 1) + 3(a - 1)(a^2 + a + 1)$.

Упростим каждое слагаемое, применяя соответствующие формулы.

Первое слагаемое: $(a - 1)^3$. По формуле куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$: $a^3 - 3a^2 \cdot 1 + 3a \cdot 1^2 - 1^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1$.

Второе слагаемое: $-4a(a + 1)(a - 1)$. Сначала применим формулу разности квадратов к $(a+1)(a-1)=a^2-1$. Затем: $-4a(a^2 - 1) = -4a^3 + 4a$.

Третье слагаемое: $3(a - 1)(a^2 + a + 1)$. Выражение в скобках является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$: $3(a^3 - 1^3) = 3(a^3 - 1) = 3a^3 - 3$.

Подставим все в исходное выражение:

$(a^3 - 3a^2 + 3a - 1) + (-4a^3 + 4a) + (3a^3 - 3)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$a^3 - 3a^2 + 3a - 1 - 4a^3 + 4a + 3a^3 - 3$

$(a^3 - 4a^3 + 3a^3) - 3a^2 + (3a + 4a) + (-1 - 3) = (4a^3 - 4a^3) - 3a^2 + 7a - 4 = -3a^2 + 7a - 4$.

Ответ: $-3a^2 + 7a - 4$