Номер 34.8, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.8. Решите неравенство:

1)

$(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2) - 6x^3 \le 10x - 70x^3;$

2)

$99x^3 - (1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2) \ge 12x - 26x^3.$

1) $(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2) - 6x^3 \le 10x - 70x^3$

Для решения этого неравенства заметим, что выражение $(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2)$ является разностью кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 1$ и $b = 4x$. Проверим, соответствует ли второй множитель формуле: $a^2 = 1^2 = 1$, $ab = 1 \cdot 4x = 4x$, $b^2 = (4x)^2 = 16x^2$. Все верно.

Таким образом, произведение $(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2)$ равно $1^3 - (4x)^3 = 1 - 64x^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(1 - 64x^3) - 6x^3 \le 10x - 70x^3$

Упростим левую часть:

$1 - 70x^3 \le 10x - 70x^3$

Теперь перенесем все члены с $x^3$ в одну сторону. Видно, что члены $-70x^3$ в обеих частях неравенства взаимно уничтожаются.

$1 \le 10x$

Разделим обе части неравенства на 10:

$\frac{1}{10} \le x$

Или, что то же самое:

$x \ge 0.1$

Решение можно записать в виде промежутка.

Ответ: $x \in [0.1, +\infty)$.

2) $99x^3 - (1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2) \ge 12x - 26x^3$

Выражение $(1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2)$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = 1$ и $b = 5x$. Проверим второй множитель: $a^2 = 1^2 = 1$, $ab = 1 \cdot 5x = 5x$, $b^2 = (5x)^2 = 25x^2$. Все верно.

Следовательно, произведение $(1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2)$ равно $1^3 + (5x)^3 = 1 + 125x^3$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$99x^3 - (1 + 125x^3) \ge 12x - 26x^3$

Раскроем скобки в левой части:

$99x^3 - 1 - 125x^3 \ge 12x - 26x^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-26x^3 - 1 \ge 12x - 26x^3$

Члены $-26x^3$ в обеих частях неравенства взаимно уничтожаются.

$-1 \ge 12x$

Разделим обе части на 12:

$-\frac{1}{12} \ge x$

Или, что то же самое:

$x \le -\frac{1}{12}$

Решение можно записать в виде промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{12}]$.