Страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (32.28–32.30):

32.28. 1) $(3,5 - x)(4x + 1) + (2x + 3)^2 < 0;$

2) $8(y - 3)^2 + (5 - y)(3 + 8y) > 2;$

3) $(3z + \frac{1}{3})^2 - (1,5z + 1)(6z - 1) < 0;$

4) $(7z - \frac{1}{7})^2 - (24,5z + 11)(2z - 1) > 0.$

1) $(3,5 - x)(4x + 1) + (2x + 3)^2 < 0$

Сначала раскроем скобки. Первую пару скобок перемножаем, а вторую возводим в квадрат по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(3,5 \cdot 4x + 3,5 \cdot 1 - x \cdot 4x - x \cdot 1) + ((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) < 0$

$(14x + 3,5 - 4x^2 - x) + (4x^2 + 12x + 9) < 0$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части неравенства.

$(-4x^2 + 4x^2) + (14x - x + 12x) + (3,5 + 9) < 0$

$25x + 12,5 < 0$

Мы получили простое линейное неравенство. Перенесем свободный член в правую часть и разделим на коэффициент при $x$.

$25x < -12,5$

$x < -\frac{12,5}{25}$

$x < -0,5$

Запишем решение в виде интервала.

Ответ: $(-\infty; -0,5)$.

2) $8(y - 3)^2 + (5 - y)(3 + 8y) > 2$

Раскроем скобки. Выражение в первых скобках возводим в квадрат по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и умножаем на 8. Вторую пару скобок перемножаем.

$8(y^2 - 6y + 9) + (5 \cdot 3 + 5 \cdot 8y - y \cdot 3 - y \cdot 8y) > 2$

$8y^2 - 48y + 72 + (15 + 40y - 3y - 8y^2) > 2$

$8y^2 - 48y + 72 + 15 + 37y - 8y^2 > 2$

Приведем подобные слагаемые.

$(8y^2 - 8y^2) + (-48y + 37y) + (72 + 15) > 2$

$-11y + 87 > 2$

Решим полученное линейное неравенство.

$-11y > 2 - 87$

$-11y > -85$

Разделим обе части на -11. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$y < \frac{-85}{-11}$

$y < \frac{85}{11}$

Ответ: $(-\infty; \frac{85}{11})$.

3) $(3z + \frac{1}{3})^2 - (1,5z + 1)(6z - 1) < 0$

Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы для первого выражения и правило умножения многочленов для второго. Для удобства представим $1,5$ в виде дроби $\frac{3}{2}$.

$((3z)^2 + 2 \cdot 3z \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2) - (1,5z \cdot 6z - 1,5z \cdot 1 + 1 \cdot 6z - 1 \cdot 1) < 0$

$(9z^2 + 2z + \frac{1}{9}) - (9z^2 - 1,5z + 6z - 1) < 0$

$(9z^2 + 2z + \frac{1}{9}) - (9z^2 + 4,5z - 1) < 0$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые. Заменим $4,5$ на $\frac{9}{2}$.

$9z^2 + 2z + \frac{1}{9} - 9z^2 - \frac{9}{2}z + 1 < 0$

$(9z^2 - 9z^2) + (2z - \frac{9}{2}z) + (\frac{1}{9} + 1) < 0$

$(\frac{4}{2}z - \frac{9}{2}z) + (\frac{1}{9} + \frac{9}{9}) < 0$

$-\frac{5}{2}z + \frac{10}{9} < 0$

Решим линейное неравенство.

$-\frac{5}{2}z < -\frac{10}{9}$

Умножим обе части на $-\frac{2}{5}$, не забывая изменить знак неравенства.

$z > (-\frac{10}{9}) \cdot (-\frac{2}{5})$

$z > \frac{10 \cdot 2}{9 \cdot 5}$

$z > \frac{4}{9}$

Ответ: $(\frac{4}{9}; +\infty)$.

4) $(7z - \frac{1}{7})^2 - (24,5z + 11)(2z - 1) > 0$

Раскроем скобки. Для первого выражения используем формулу квадрата разности, для второго — правило умножения многочленов. Представим десятичную дробь $24,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{49}{2}$.

$((7z)^2 - 2 \cdot 7z \cdot \frac{1}{7} + (\frac{1}{7})^2) - (\frac{49}{2}z \cdot 2z - \frac{49}{2}z \cdot 1 + 11 \cdot 2z - 11 \cdot 1) > 0$

$(49z^2 - 2z + \frac{1}{49}) - (49z^2 - \frac{49}{2}z + 22z - 11) > 0$

Сначала упростим выражение во вторых скобках.

$49z^2 - \frac{49}{2}z + \frac{44}{2}z - 11 = 49z^2 - \frac{5}{2}z - 11$

Подставим обратно в неравенство и раскроем скобки, меняя знаки.

$49z^2 - 2z + \frac{1}{49} - (49z^2 - \frac{5}{2}z - 11) > 0$

$49z^2 - 2z + \frac{1}{49} - 49z^2 + \frac{5}{2}z + 11 > 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(49z^2 - 49z^2) + (-2z + \frac{5}{2}z) + (\frac{1}{49} + 11) > 0$

$(-\frac{4}{2}z + \frac{5}{2}z) + (\frac{1}{49} + \frac{539}{49}) > 0$

$\frac{1}{2}z + \frac{540}{49} > 0$

Решим полученное линейное неравенство.

$\frac{1}{2}z > -\frac{540}{49}$

Умножим обе части на 2.

$z > -\frac{540 \cdot 2}{49}$

$z > -\frac{1080}{49}$

Ответ: $(-\frac{1080}{49}; +\infty)$.

32.29.

1)

$(4x - 3)(4x + 3) - (4x - 1)^2 < 3x;$

2)

$3(x - 1)^2 - 3x(x - 5) > 21;$

3)

$10(x - 2)^2 - 5x(2x - 1) < -30;$

4)

$(5x + 6)^2 - (5x - 6)^2 > 12.$

1) $(4x-3)(4x+3)-(4x-1)^2 < 3x$

Для решения неравенства раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения. Первое произведение представляет собой разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Второе выражение — квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$((4x)^2 - 3^2) - ((4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2) < 3x$

$(16x^2 - 9) - (16x^2 - 8x + 1) < 3x$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$16x^2 - 9 - 16x^2 + 8x - 1 < 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8x - 10 < 3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$8x - 3x < 10$

$5x < 10$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x < 2$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) $3(x-1)^2-3x(x-5) > 21$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат разность, используя формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$3(x^2 - 2x + 1) - 3x(x - 5) > 21$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$3x^2 - 6x + 3 - 3x^2 + 15x > 21$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x + 3 > 21$

Перенесем число 3 в правую часть с противоположным знаком:

$9x > 21 - 3$

$9x > 18$

Разделим обе части неравенства на 9:

$x > 2$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) $10(x-2)^2-5x(2x-1) < -30$

Раскроем скобки, начав с возведения в квадрат по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$10(x^2 - 4x + 4) - 5x(2x - 1) < -30$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$10x^2 - 40x + 40 - 10x^2 + 5x < -30$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-35x + 40 < -30$

Перенесем число 40 в правую часть с противоположным знаком:

$-35x < -30 - 40$

$-35x < -70$

Разделим обе части неравенства на -35. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{-70}{-35}$

$x > 2$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $(5x+6)^2-(5x-6)^2 > 12$

Для решения используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = 5x+6$ и $b = 5x-6$.

$((5x+6)-(5x-6)) \cdot ((5x+6)+(5x-6)) > 12$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(5x+6-5x+6) \cdot (5x+6+5x-6) > 12$

Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:

$(12) \cdot (10x) > 12$

$120x > 12$

Разделим обе части неравенства на 120:

$x > \frac{12}{120}$

Сократим дробь:

$x > \frac{1}{10}$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (\frac{1}{10}; +\infty)$.

32.30. 1) $(3x - 1)^2 - 7 < (9x + 2)x + 2;$

2) $2x(8x + 3) + 1 > (5 - 4x)^2 - 1;$

3) $(0,3x + 0,2)^2 + 0,58x > 3,9 - (2 - 0,3x)(2 + 0,3x);$

4) $(0,2 - 0,8x)^2 + 11,16 < (0,5 + 0,8x)^2 - 0,25.$

1) $(3x-1)^2-7 < (9x+2)x+2$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В правой части умножим многочлен на одночлен.

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 - 7 < 9x \cdot x + 2 \cdot x + 2$

$9x^2 - 6x + 1 - 7 < 9x^2 + 2x + 2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$9x^2 - 6x - 6 < 9x^2 + 2x + 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, изменяя знак при переносе:

$9x^2 - 9x^2 - 6x - 2x < 2 + 6$

$-8x < 8$

Разделим обе части неравенства на $-8$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:

$x > \frac{8}{-8}$

$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

2) $2x(8x+3)+1 > (5-4x)^2-1$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В правой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$16x^2 + 6x + 1 > 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4x + (4x)^2 - 1$

$16x^2 + 6x + 1 > 25 - 40x + 16x^2 - 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$16x^2 + 6x + 1 > 16x^2 - 40x + 24$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$16x^2 - 16x^2 + 6x + 40x > 24 - 1$

$46x > 23$

Разделим обе части неравенства на $46$:

$x > \frac{23}{46}$

$x > \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (0,5; +\infty)$.

3) $(0,3x+0,2)^2+0,58x > 3,9-(2-0,3x)(2+0,3x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, а в правой — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(0,3x)^2 + 2 \cdot 0,3x \cdot 0,2 + (0,2)^2 + 0,58x > 3,9 - (2^2 - (0,3x)^2)$

$0,09x^2 + 0,12x + 0,04 + 0,58x > 3,9 - (4 - 0,09x^2)$

Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:

$0,09x^2 + 0,7x + 0,04 > 3,9 - 4 + 0,09x^2$

$0,09x^2 + 0,7x + 0,04 > 0,09x^2 - 0,1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$0,09x^2 - 0,09x^2 + 0,7x > -0,1 - 0,04$

$0,7x > -0,14$

Разделим обе части неравенства на $0,7$:

$x > \frac{-0,14}{0,7}$

$x > -0,2$

Ответ: $x \in (-0,2; +\infty)$.

4) $(0,2-0,8x)^2+11,16 < (0,5+0,8x)^2-0,25$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(0,2)^2 - 2 \cdot 0,2 \cdot 0,8x + (0,8x)^2 + 11,16 < (0,5)^2 + 2 \cdot 0,5 \cdot 0,8x + (0,8x)^2 - 0,25$

$0,04 - 0,32x + 0,64x^2 + 11,16 < 0,25 + 0,8x + 0,64x^2 - 0,25$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$0,64x^2 - 0,32x + 11,2 < 0,64x^2 + 0,8x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены оставим в левой, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$11,2 < 0,64x^2 - 0,64x^2 + 0,8x + 0,32x$

$11,2 < 1,12x$

Разделим обе части на $1,12$:

$\frac{11,2}{1,12} < x$

$10 < x$

Запишем решение в стандартном виде:

$x > 10$

Ответ: $x \in (10; +\infty)$.

32.31. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения равно отрицательному числу:

1) $5(3-5a)^2 - 5(3a-7)(3a+7) - 80a^2 + 150a - 300;$

2) $3(a-1)^2 + 5(a+1)(a-1) - 8a^2 + 6a;$

3) $(m-1)^2 - 4(m+1)^2 + 3m^2 + 10m;$

4) $5(1-y)^2 - (3+y)^2 - 4y^2 + 16y.$

1) Упростим выражение $5(3 - 5a)^2 - 5(3a - 7)(3a + 7) - 80a^2 + 150a - 300$.

Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и разность квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$5(3 - 5a)^2 = 5(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5a + (5a)^2) = 5(9 - 30a + 25a^2) = 45 - 150a + 125a^2$.

$-5(3a - 7)(3a + 7) = -5((3a)^2 - 7^2) = -5(9a^2 - 49) = -45a^2 + 245$.

Теперь подставим полученные раскрытые скобки в исходное выражение:

$45 - 150a + 125a^2 - 45a^2 + 245 - 80a^2 + 150a - 300$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(125a^2 - 45a^2 - 80a^2) + (-150a + 150a) + (45 + 245 - 300) = 0 \cdot a^2 + 0 \cdot a - 10 = -10$.

Значение выражения равно $-10$ при любом значении переменной $a$. Число $-10$ является отрицательным. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: $-10$.

2) Упростим выражение $3(a - 1)^2 + 5(a + 1)(a - 1) - 8a^2 + 6a$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и разности квадратов.

$3(a - 1)^2 = 3(a^2 - 2a + 1) = 3a^2 - 6a + 3$.

$5(a + 1)(a - 1) = 5(a^2 - 1^2) = 5(a^2 - 1) = 5a^2 - 5$.

Подставим в исходное выражение:

$3a^2 - 6a + 3 + 5a^2 - 5 - 8a^2 + 6a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 + 5a^2 - 8a^2) + (-6a + 6a) + (3 - 5) = 0 \cdot a^2 + 0 \cdot a - 2 = -2$.

Значение выражения равно $-2$ при любом значении переменной $a$. Число $-2$ является отрицательным. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: $-2$.

3) Упростим выражение $(m - 1)^2 - 4(m + 1)^2 + 3m^2 + 10m$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(m - 1)^2 = m^2 - 2m + 1$.

$-4(m + 1)^2 = -4(m^2 + 2m + 1) = -4m^2 - 8m - 4$.

Подставим в исходное выражение:

$m^2 - 2m + 1 - 4m^2 - 8m - 4 + 3m^2 + 10m$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(m^2 - 4m^2 + 3m^2) + (-2m - 8m + 10m) + (1 - 4) = 0 \cdot m^2 + 0 \cdot m - 3 = -3$.

Значение выражения равно $-3$ при любом значении переменной $m$. Число $-3$ является отрицательным. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: $-3$.

4) Упростим выражение $5(1 - y)^2 - (3 + y)^2 - 4y^2 + 16y$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы.

$5(1 - y)^2 = 5(1 - 2y + y^2) = 5 - 10y + 5y^2$.

$-(3 + y)^2 = -(9 + 6y + y^2) = -9 - 6y - y^2$.

Подставим в исходное выражение:

$5 - 10y + 5y^2 - 9 - 6y - y^2 - 4y^2 + 16y$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5y^2 - y^2 - 4y^2) + (-10y - 6y + 16y) + (5 - 9) = 0 \cdot y^2 + 0 \cdot y - 4 = -4$.

Значение выражения равно $-4$ при любом значении переменной $y$. Число $-4$ является отрицательным. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: $-4$.

32.32. Докажите тождество:

1) $ \left(\frac{3}{5}a^{3n+1}b^2 + \frac{2}{3}a^{n-1}b^3\right)^2 - \frac{4}{45}a^{2n-2}b^5(9a^{2n+2} + 5b) + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4 = a^{6n+2}b^4;$

2) $ \left(\frac{5}{6}x^{2n-1}y^n - \frac{3}{5}x^{n+1}y^2\right)^2 - \frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2}(25x^{n-2}y^{n-2} - 36) = \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4 $

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$(\frac{3}{5}a^{3n+1}b^2 + \frac{2}{3}a^{n-1}b^3)^2 - \frac{4}{45}a^{2n-2}b^5(9a^{2n+2} + 5b) + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4$

Сначала раскроем скобки. Первое слагаемое — это квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(\frac{3}{5}a^{3n+1}b^2)^2 + 2 \cdot (\frac{3}{5}a^{3n+1}b^2) \cdot (\frac{2}{3}a^{n-1}b^3) + (\frac{2}{3}a^{n-1}b^3)^2 = $

$= \frac{9}{25}a^{2(3n+1)}b^{2 \cdot 2} + \frac{12}{15}a^{(3n+1)+(n-1)}b^{2+3} + \frac{4}{9}a^{2(n-1)}b^{2 \cdot 3} = $

$= \frac{9}{25}a^{6n+2}b^4 + \frac{4}{5}a^{4n}b^5 + \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6$.

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом исходного выражения:

$- \frac{4}{45}a^{2n-2}b^5(9a^{2n+2} + 5b) = - (\frac{4}{45}a^{2n-2}b^5 \cdot 9a^{2n+2}) - (\frac{4}{45}a^{2n-2}b^5 \cdot 5b) = $

$= - \frac{36}{45}a^{(2n-2)+(2n+2)}b^5 - \frac{20}{45}a^{2n-2}b^{5+1} = - \frac{4}{5}a^{4n}b^5 - \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6$.

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$(\frac{9}{25}a^{6n+2}b^4 + \frac{4}{5}a^{4n}b^5 + \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6) - \frac{4}{5}a^{4n}b^5 - \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6 + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4 =$

$= \frac{9}{25}a^{6n+2}b^4 + (\frac{4}{5}a^{4n}b^5 - \frac{4}{5}a^{4n}b^5) + (\frac{4}{9}a^{2n-2}b^6 - \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6) + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4 =$

$= \frac{9}{25}a^{6n+2}b^4 + 0 + 0 + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4 = (\frac{9}{25} + \frac{16}{25})a^{6n+2}b^4 = \frac{25}{25}a^{6n+2}b^4 = a^{6n+2}b^4$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$(\frac{5}{6}x^{2n-1}y^n - \frac{3}{5}x^{n+1}y^2)^2 - \frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2}(25x^{n-2}y^{n-2} - 36)$

Раскроем скобки. Первое слагаемое — это квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(\frac{5}{6}x^{2n-1}y^n)^2 - 2 \cdot (\frac{5}{6}x^{2n-1}y^n) \cdot (\frac{3}{5}x^{n+1}y^2) + (\frac{3}{5}x^{n+1}y^2)^2 = $

$= \frac{25}{36}x^{2(2n-1)}y^{2n} - \frac{30}{30}x^{(2n-1)+(n+1)}y^{n+2} + \frac{9}{25}x^{2(n+1)}y^{2 \cdot 2} = $

$= \frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} - x^{3n}y^{n+2} + \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4$.

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом исходного выражения:

$- \frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2}(25x^{n-2}y^{n-2} - 36) = - (\frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2} \cdot 25x^{n-2}y^{n-2}) - (\frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2} \cdot (-36)) = $

$= - \frac{25}{36}x^{3n+(n-2)}y^{(n+2)+(n-2)} + \frac{36}{36}x^{3n}y^{n+2} = - \frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} + x^{3n}y^{n+2}$.

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$(\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} - x^{3n}y^{n+2} + \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4) - \frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} + x^{3n}y^{n+2} =$

$= (\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} - \frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}) + (-x^{3n}y^{n+2} + x^{3n}y^{n+2}) + \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4 =$

$= 0 + 0 + \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4 = \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

32.33. Длина стороны куба равна $a$ см. Выразите формулой объем куба, если:

1) длина стороны куба увеличена на 2 см;

2) длина стороны куба уменьшена на 3 см.

Объем куба, обозначим его $V$, вычисляется по формуле $V = s^3$, где $s$ — это длина его стороны. В данной задаче начальная длина стороны куба равна $a$ см.

1) длина стороны куба увеличена на 2 см;

Если начальную длину стороны $a$ увеличить на 2 см, то новая длина стороны станет $(a + 2)$ см. Чтобы найти объем нового куба, нужно возвести в куб длину его новой стороны.

Формула для объема $V$ будет выглядеть так:

$V = (a + 2)^3$

Используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, можно раскрыть скобки:

$V = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

Таким образом, объем куба выражается формулой $V = (a + 2)^3$ см³.

Ответ: $V = (a + 2)^3$ см³.

2) длина стороны куба уменьшена на 3 см.

Если начальную длину стороны $a$ уменьшить на 3 см, то новая длина стороны станет $(a - 3)$ см. Важно отметить, что длина стороны физического объекта не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому данное условие выполняется только при $a > 3$. Объем нового куба вычисляется как куб его новой стороны.

Формула для объема $V$ будет выглядеть так:

$V = (a - 3)^3$

Используя формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, можно раскрыть скобки:

$V = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27$

Таким образом, объем куба выражается формулой $V = (a - 3)^3$ см³.

Ответ: $V = (a - 3)^3$ см³.

32.34. Длина стороны куба равна $a$ см. Ее увеличили на 4 см. На сколько кубических сантиметров увеличился объем куба, если длина стороны куба равна 8 см?

Для того чтобы найти, на сколько увеличился объем куба, необходимо выполнить несколько шагов: сначала найти начальный объем, затем объем после увеличения стороны и, наконец, найти их разность.

1. Вычислим начальный объем куба ($V_1$). По условию, начальная длина стороны куба $a_1 = 8$ см. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$. $V_1 = 8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ см³.

2. Вычислим новую длину стороны куба ($a_2$). Длину стороны увеличили на 4 см, следовательно: $a_2 = 8 + 4 = 12$ см.

3. Вычислим новый объем куба ($V_2$) с увеличенной стороной: $V_2 = 12^3 = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$ см³.

4. Найдем разность между новым и начальным объемами, чтобы определить, на сколько увеличился объем: $\Delta V = V_2 - V_1 = 1728 - 512 = 1216$ см³.

Ответ: объем куба увеличился на 1216 кубических сантиметров.