Номер 32.29, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.29.

1)

$(4x - 3)(4x + 3) - (4x - 1)^2 < 3x;$

2)

$3(x - 1)^2 - 3x(x - 5) > 21;$

3)

$10(x - 2)^2 - 5x(2x - 1) < -30;$

4)

$(5x + 6)^2 - (5x - 6)^2 > 12.$

1) $(4x-3)(4x+3)-(4x-1)^2 < 3x$

Для решения неравенства раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения. Первое произведение представляет собой разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Второе выражение — квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$((4x)^2 - 3^2) - ((4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2) < 3x$

$(16x^2 - 9) - (16x^2 - 8x + 1) < 3x$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$16x^2 - 9 - 16x^2 + 8x - 1 < 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8x - 10 < 3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$8x - 3x < 10$

$5x < 10$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x < 2$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) $3(x-1)^2-3x(x-5) > 21$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат разность, используя формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$3(x^2 - 2x + 1) - 3x(x - 5) > 21$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$3x^2 - 6x + 3 - 3x^2 + 15x > 21$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x + 3 > 21$

Перенесем число 3 в правую часть с противоположным знаком:

$9x > 21 - 3$

$9x > 18$

Разделим обе части неравенства на 9:

$x > 2$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) $10(x-2)^2-5x(2x-1) < -30$

Раскроем скобки, начав с возведения в квадрат по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$10(x^2 - 4x + 4) - 5x(2x - 1) < -30$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$10x^2 - 40x + 40 - 10x^2 + 5x < -30$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-35x + 40 < -30$

Перенесем число 40 в правую часть с противоположным знаком:

$-35x < -30 - 40$

$-35x < -70$

Разделим обе части неравенства на -35. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{-70}{-35}$

$x > 2$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $(5x+6)^2-(5x-6)^2 > 12$

Для решения используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = 5x+6$ и $b = 5x-6$.

$((5x+6)-(5x-6)) \cdot ((5x+6)+(5x-6)) > 12$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(5x+6-5x+6) \cdot (5x+6+5x-6) > 12$

Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:

$(12) \cdot (10x) > 12$

$120x > 12$

Разделим обе части неравенства на 120:

$x > \frac{12}{120}$

Сократим дробь:

$x > \frac{1}{10}$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (\frac{1}{10}; +\infty)$.