Номер 32.23, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.23. Представьте в виде квадрата многочлен:

1) $a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16}$;

2) $a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8$;

3) $81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2$;

4) $16x^2 + 24x^3 + 9x^4$.

1) Для того чтобы представить многочлен $a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16}$ в виде квадрата, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении первый член $a^{10}$ можно представить как $(a^5)^2$, а третий член $25b^{16}$ можно представить как $(5b^8)^2$.

Таким образом, мы можем предположить, что $x = a^5$ и $y = 5b^8$.

Теперь проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $2xy$ со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot a^5 \cdot 5b^8 = -10a^5b^8$.

Так как все члены соответствуют формуле, мы можем записать исходный многочлен в виде квадрата разности:

$a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16} = (a^5)^2 - 2 \cdot a^5 \cdot 5b^8 + (5b^8)^2 = (a^5 - 5b^8)^2$.

Ответ: $(a^5 - 5b^8)^2$.

2) Для того чтобы представить многочлен $a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8$ в виде квадрата, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $a^6$ можно представить как $(a^3)^2$, а третий член $9x^8$ можно представить как $(3x^4)^2$.

Таким образом, мы можем предположить, что $x = a^3$ и $y = 3x^4$.

Проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $2xy$: $2xy = 2 \cdot a^3 \cdot 3x^4 = 6a^3x^4$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому мы можем записать исходный многочлен в виде квадрата суммы:

$a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8 = (a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot 3x^4 + (3x^4)^2 = (a^3 + 3x^4)^2$.

Ответ: $(a^3 + 3x^4)^2$.

3) Для того чтобы представить многочлен $81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2$ в виде квадрата, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член $81a^6$ можно представить как $(9a^3)^2$, а третий член $25b^4c^2$ можно представить как $(5b^2c)^2$.

Таким образом, мы можем предположить, что $x = 9a^3$ и $y = 5b^2c$.

Проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $-2xy$: $-2xy = -2 \cdot 9a^3 \cdot 5b^2c = -90a^3b^2c$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому мы можем записать исходный многочлен в виде квадрата разности:

$81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2 = (9a^3)^2 - 2 \cdot 9a^3 \cdot 5b^2c + (5b^2c)^2 = (9a^3 - 5b^2c)^2$.

Ответ: $(9a^3 - 5b^2c)^2$.

4) Для того чтобы представить многочлен $16x^2 + 24x^3 + 9x^4$ в виде квадрата, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $16x^2$ можно представить как $(4x)^2$, а третий член $9x^4$ можно представить как $(3x^2)^2$.

Таким образом, мы можем предположить, что $x = 4x$ и $y = 3x^2$.

Проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $2xy$: $2xy = 2 \cdot 4x \cdot 3x^2 = 24x^3$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому мы можем записать исходный многочлен в виде квадрата суммы:

$16x^2 + 24x^3 + 9x^4 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3x^2 + (3x^2)^2 = (4x + 3x^2)^2$.

Ответ: $(4x + 3x^2)^2$.