Номер 32.26, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (32.26–32.27):

32.26. 1) $(2a - 11)(11 + 2a) - (2a - 5)^2 = 0;$

2) $(4 + 9b)^2 + (9b + 2)(2 - 9b) = 0;$

3) $(2,5 - 8c)^2 - (8c - 1,5)(8c + 1,5) = 0;$

4) $(\frac{3}{4} - 5d)(5d + \frac{3}{4}) + (5d - \frac{3}{4})^2 = 0.$

1) $(2a - 11)(11 + 2a) - (2a - 5)^2 = 0$

Для решения уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ для первого слагаемого и квадратом разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ для второго.

Перепишем первое слагаемое в более удобном виде: $(2a - 11)(2a + 11)$.

Применим формулы:

$((2a)^2 - 11^2) - ((2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2) = 0$

$(4a^2 - 121) - (4a^2 - 20a + 25) = 0$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.

$4a^2 - 121 - 4a^2 + 20a - 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a^2) + 20a - 121 - 25 = 0$

$20a - 146 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$20a = 146$

Найдем $a$:

$a = \frac{146}{20} = \frac{73}{10} = 7,3$

Ответ: $a = 7,3$.

2) $(4 + 9b)^2 + (9b + 2)(2 - 9b) = 0$

Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ к первому слагаемому. Второе слагаемое является произведением суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(y+x)(x-y) = (x+y)(x-y) = x^2-y^2$.

Применим формулы:

$(4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 9b + (9b)^2) + (2^2 - (9b)^2) = 0$

$(16 + 72b + 81b^2) + (4 - 81b^2) = 0$

Раскроем скобки:

$16 + 72b + 81b^2 + 4 - 81b^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(81b^2 - 81b^2) + 72b + (16 + 4) = 0$

$72b + 20 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$72b = -20$

Найдем $b$ и сократим дробь:

$b = -\frac{20}{72} = -\frac{5 \cdot 4}{18 \cdot 4} = -\frac{5}{18}$

Ответ: $b = -\frac{5}{18}$.

3) $(2,5 - 8c)^2 - (8c - 1,5)(8c + 1,5) = 0$

К первому слагаемому применим формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. Второе слагаемое является произведением разности и суммы, что соответствует формуле разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

Применим формулы:

$((2,5)^2 - 2 \cdot 2,5 \cdot 8c + (8c)^2) - ((8c)^2 - (1,5)^2) = 0$

$(6,25 - 40c + 64c^2) - (64c^2 - 2,25) = 0$

Раскроем скобки:

$6,25 - 40c + 64c^2 - 64c^2 + 2,25 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(64c^2 - 64c^2) - 40c + (6,25 + 2,25) = 0$

$-40c + 8,5 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-40c = -8,5$

$40c = 8,5$

Найдем $c$ и преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для удобства сокращения:

$c = \frac{8,5}{40} = \frac{85}{400} = \frac{17 \cdot 5}{80 \cdot 5} = \frac{17}{80}$

Ответ: $c = \frac{17}{80}$.

4) $(\frac{3}{4} - 5d)(5d + \frac{3}{4}) + (5d - \frac{3}{4})^2 = 0$

Первое слагаемое преобразуем к виду $(\frac{3}{4} - 5d)(\frac{3}{4} + 5d)$, чтобы применить формулу разности квадратов. Ко второму слагаемому применим формулу квадрата разности.

Применим формулы:

$((\frac{3}{4})^2 - (5d)^2) + ((5d)^2 - 2 \cdot 5d \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2) = 0$

$(\frac{9}{16} - 25d^2) + (25d^2 - \frac{30d}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Раскроем скобки и упростим дробь:

$\frac{9}{16} - 25d^2 + 25d^2 - \frac{15d}{2} + \frac{9}{16} = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-25d^2 + 25d^2) - \frac{15d}{2} + (\frac{9}{16} + \frac{9}{16}) = 0$

$-\frac{15d}{2} + \frac{18}{16} = 0$

Сократим вторую дробь:

$-\frac{15d}{2} + \frac{9}{8} = 0$

Перенесем слагаемое с переменной в правую часть:

$\frac{9}{8} = \frac{15d}{2}$

Найдем $d$:

$d = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{15} = \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 15} = \frac{18}{120}$

Сократим полученную дробь:

$d = \frac{18 \div 6}{120 \div 6} = \frac{3}{20}$

Ответ: $d = \frac{3}{20}$.