Номер 32.20, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.20.

1) $(x + 9)(x - 2) - (x - 2)^2 > 0;$

2) $(10 - x)^2 + (x + 10)(10 - x) < 0;$

3) $(5 - x)(x + 5) + (x - 5)^2 > 0;$

4) $(4 + x)(2 - x) + (1 - x)^2 > 0.$

1) Решим неравенство $(x + 9)(x - 2) - (x - 2)^2 > 0$.
Для решения вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x - 2)((x + 9) - (x - 2)) > 0$
Раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$(x - 2)(x + 9 - x + 2) > 0$
Приведем подобные слагаемые во втором множителе:
$(x - 2)(11) > 0$
$11(x - 2) > 0$
Разделим обе части неравенства на положительное число 11, знак неравенства при этом не изменится:
$x - 2 > 0$
$x > 2$
Решением неравенства является числовой промежуток $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(10 - x)^2 + (x + 10)(10 - x) < 0$.
Вынесем общий множитель $(10 - x)$ за скобки:
$(10 - x)((10 - x) + (x + 10)) < 0$
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:
$(10 - x)(10 - x + x + 10) < 0$
$(10 - x)(20) < 0$
$20(10 - x) < 0$
Разделим обе части неравенства на 20, знак неравенства не изменится:
$10 - x < 0$
Перенесем $x$ в правую часть:
$10 < x$
Решением неравенства является числовой промежуток $(10; +\infty)$.
Ответ: $x \in (10; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(5 - x)(x + 5) + (x - 5)^2 > 0$.
Заметим, что $(5 - x) = -(x - 5)$. Подставим это в неравенство:
$-(x - 5)(x + 5) + (x - 5)^2 > 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:
$(x - 5)(-(x + 5) + (x - 5)) > 0$
Раскроем внутренние скобки:
$(x - 5)(-x - 5 + x - 5) > 0$
Приведем подобные слагаемые во втором множителе:
$(x - 5)(-10) > 0$
$-10(x - 5) > 0$
Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 5 < 0$
$x < 5$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

4) Решим неравенство $(4 + x)(2 - x) + (1 - x)^2 > 0$.
В этом неравенстве нет общего множителя, поэтому раскроем скобки и упростим выражение.
Произведение $(4 + x)(2 - x) = 8 - 4x + 2x - x^2 = -x^2 - 2x + 8$.
Квадрат разности $(1 - x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$(-x^2 - 2x + 8) + (1 - 2x + x^2) > 0$
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-x^2 - 2x + 8 + 1 - 2x + x^2 > 0$
$(-x^2 + x^2) + (-2x - 2x) + (8 + 1) > 0$
$-4x + 9 > 0$
Это линейное неравенство. Перенесем 9 в правую часть с противоположным знаком:
$-4x > -9$
Разделим обе части неравенства на -4, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-9}{-4}$
$x < \frac{9}{4}$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{9}{4})$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{9}{4})$.