Номер 32.18, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (32.18–32.20):

32.18. 1) $n^2-(n+1)^2 > 2;$ 2) $(1-t)^2-t^2 > 3;$

3) $(m-2)^2-41 < m^2;$ 4) $m^2+9 < (1-m)^2.$

1) Решим неравенство $n^2 - (n + 1)^2 > 2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$n^2 - (n^2 + 2n + 1) > 2$
Уберем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$n^2 - n^2 - 2n - 1 > 2$
Приведем подобные слагаемые:
$-2n - 1 > 2$
Перенесем -1 в правую часть неравенства с противоположным знаком:
$-2n > 2 + 1$
$-2n > 3$
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$n < -\frac{3}{2}$
$n < -1,5$
Ответ: $(-\infty; -1,5)$.

2) Решим неравенство $(1 - t)^2 - t^2 > 3$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(1 - 2t + t^2) - t^2 > 3$
Приведем подобные слагаемые:
$1 - 2t > 3$
Перенесем 1 в правую часть неравенства с противоположным знаком:
$-2t > 3 - 1$
$-2t > 2$
Разделим обе части неравенства на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$t < \frac{2}{-2}$
$t < -1$
Ответ: $(-\infty; -1)$.

3) Решим неравенство $(m - 2)^2 - 41 < m^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(m^2 - 4m + 4) - 41 < m^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$m^2 - 4m - 37 < m^2$
Перенесем слагаемое $m^2$ из правой части в левую:
$m^2 - m^2 - 4m - 37 < 0$
$-4m - 37 < 0$
Перенесем -37 в правую часть с противоположным знаком:
$-4m < 37$
Разделим обе части неравенства на -4, изменив знак неравенства на противоположный:
$m > -\frac{37}{4}$
$m > -9,25$
Ответ: $(-9,25; +\infty)$.

4) Решим неравенство $m^2 + 9 < (1 - m)^2$.
Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$m^2 + 9 < 1 - 2m + m^2$
Перенесем все слагаемые с переменной $m$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:
$m^2 - m^2 + 2m < 1 - 9$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$2m < -8$
Разделим обе части неравенства на 2. Знак неравенства при этом не меняется:
$m < \frac{-8}{2}$
$m < -4$
Ответ: $(-\infty; -4)$.