Номер 32.14, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.14. 1) $a^3 + 2a^2 + a;$

2) $x^2y - 6xy + 9y;$

3) $c^4 - 4c^3 + 4c^2;$

4) $2ay^2 - 4ay + 2a;$

5) $\frac{1}{9}a - \frac{8}{9}ab + \frac{16}{9}ab^2;$

6) $0.5cd - acd + 0.5a^2cd.$

1) $a^3 + 2a^2 + a$

Сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a^2 + 2a + 1)$

Выражение в скобках $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом, так как соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=a$ и $y=1$. Проверим:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = (a+1)^2$

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители как:

$a(a+1)^2$

Ответ: $a(a+1)^2$

2) $x^2y - 6xy + 9y$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(x^2 - 6x + 9)$

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом и соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=3$. Проверим:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$

Следовательно, окончательный вид разложения:

$y(x-3)^2$

Ответ: $y(x-3)^2$

3) $c^4 - 4c^3 + 4c^2$

Вынесем общий множитель $c^2$ за скобки:

$c^2(c^2 - 4c + 4)$

Выражение в скобках $c^2 - 4c + 4$ является полным квадратом по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=c$ и $b=2$. Проверим:

$c^2 - 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2 = (c-2)^2$

Значит, исходное выражение равно:

$c^2(c-2)^2$

Ответ: $c^2(c-2)^2$

4) $2ay^2 - 4ay + 2a$

Вынесем общий множитель $2a$ за скобки:

$2a(y^2 - 2y + 1)$

Выражение в скобках $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=y$ и $b=1$. Проверим:

$y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y-1)^2$

В результате получаем:

$2a(y-1)^2$

Ответ: $2a(y-1)^2$

5) $\frac{1}{9}a - \frac{8}{9}ab + \frac{16}{9}ab^2$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{9}a$ за скобки:

$\frac{1}{9}a(1 - 8b + 16b^2)$

Выражение в скобках $1 - 8b + 16b^2$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим выражение в виде $1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (4b) + (4b)^2$. Здесь $x=1$ и $y=4b$.

Таким образом, $1 - 8b + 16b^2 = (1-4b)^2$.

Окончательное разложение:

$\frac{1}{9}a(1-4b)^2$

Ответ: $\frac{1}{9}a(1-4b)^2$

6) $0,5cd - acd + 0,5a^2cd$

Вынесем общий множитель $0,5cd$ за скобки. Обратим внимание, что $acd = 2 \cdot 0,5 \cdot acd$.

$0,5cd(1 - 2a + a^2)$

Выражение в скобках $1 - 2a + a^2$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим выражение в виде $1^2 - 2 \cdot 1 \cdot a + a^2$. Здесь $x=1$ и $y=a$.

Таким образом, $1 - 2a + a^2 = (1-a)^2$.

Окончательное разложение:

$0,5cd(1-a)^2$

Ответ: $0,5cd(1-a)^2$