Страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Запишите в виде многочлена степени (32.21–32.22):

32.21. 1) $(3x - 8y)^2$;

2) $(7z + 11d)^2$;

3) $(3,5t - 4k)^2$;

4) $(5k + 1,2t)^2$;

5) $(\frac{2}{3}a - \frac{3}{7}b)^2$;

6) $(\frac{7}{8}c - \frac{4}{7}d)^2$.

1) Для того чтобы представить выражение в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 3x$ и $b = 8y$.
Подставим значения в формулу:
$(3x - 8y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (8y) + (8y)^2 = 9x^2 - 48xy + 64y^2$.
Ответ: $9x^2 - 48xy + 64y^2$.

2) Воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 7z$ и $b = 11d$.
Подставим значения в формулу:
$(7z + 11d)^2 = (7z)^2 + 2 \cdot (7z) \cdot (11d) + (11d)^2 = 49z^2 + 154zd + 121d^2$.
Ответ: $49z^2 + 154zd + 121d^2$.

3) Применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = 3,5t$ и $b = 4k$.
Подставим значения в формулу:
$(3,5t - 4k)^2 = (3,5t)^2 - 2 \cdot (3,5t) \cdot (4k) + (4k)^2 = 12,25t^2 - 7t \cdot 4k + 16k^2 = 12,25t^2 - 28tk + 16k^2$.
Ответ: $12,25t^2 - 28tk + 16k^2$.

4) Применим формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 5k$ и $b = 1,2t$.
Подставим значения в формулу:
$(5k + 1,2t)^2 = (5k)^2 + 2 \cdot (5k) \cdot (1,2t) + (1,2t)^2 = 25k^2 + 10k \cdot 1,2t + 1,44t^2 = 25k^2 + 12kt + 1,44t^2$.
Ответ: $25k^2 + 12kt + 1,44t^2$.

5) Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В этом выражении $a = \frac{2}{3}a$ и $b = \frac{3}{7}b$.
Подставляем в формулу:
$(\frac{2}{3}a - \frac{3}{7}b)^2 = (\frac{2}{3}a)^2 - 2 \cdot \frac{2}{3}a \cdot \frac{3}{7}b + (\frac{3}{7}b)^2 = \frac{4}{9}a^2 - \frac{12}{21}ab + \frac{9}{49}b^2 = \frac{4}{9}a^2 - \frac{4}{7}ab + \frac{9}{49}b^2$.
Ответ: $\frac{4}{9}a^2 - \frac{4}{7}ab + \frac{9}{49}b^2$.

6) Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В этом выражении $a = \frac{7}{8}c$ и $b = \frac{4}{7}d$.
Подставляем в формулу:
$(\frac{7}{8}c - \frac{4}{7}d)^2 = (\frac{7}{8}c)^2 - 2 \cdot \frac{7}{8}c \cdot \frac{4}{7}d + (\frac{4}{7}d)^2 = \frac{49}{64}c^2 - \frac{2 \cdot 7 \cdot 4}{8 \cdot 7}cd + \frac{16}{49}d^2 = \frac{49}{64}c^2 - \frac{56}{56}cd + \frac{16}{49}d^2 = \frac{49}{64}c^2 - cd + \frac{16}{49}d^2$.
Ответ: $\frac{49}{64}c^2 - cd + \frac{16}{49}d^2$.

32.22. 1) $(1,3m^2 + 4n^2)^2$;

2) $(2,5a^2 + 4b)^2$;

3) $(\frac{5}{2}p - 0,5q^3)^2$;

4) $(2,4m^3 - \frac{3}{4}t)^2$;

5) $(\frac{7}{4} + 0,6b^4)^2$;

6) $(\frac{3}{8}a - \frac{2}{3}b^4)^2$.

1) Для возведения в квадрат двучлена $(1,3m^2 + 4n^2)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, $a = 1,3m^2$ и $b = 4n^2$.

Подставим эти значения в формулу:

$(1,3m^2 + 4n^2)^2 = (1,3m^2)^2 + 2 \cdot (1,3m^2) \cdot (4n^2) + (4n^2)^2$

Теперь вычислим каждый член по отдельности:

- Квадрат первого члена: $(1,3m^2)^2 = 1,3^2 \cdot (m^2)^2 = 1,69m^4$.

- Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 1,3m^2 \cdot 4n^2 = (2 \cdot 1,3 \cdot 4)m^2n^2 = 10,4m^2n^2$.

- Квадрат второго члена: $(4n^2)^2 = 4^2 \cdot (n^2)^2 = 16n^4$.

Складываем полученные выражения:

$1,69m^4 + 10,4m^2n^2 + 16n^4$

Ответ: $1,69m^4 + 10,4m^2n^2 + 16n^4$.

2) Для выражения $(2,5a^2 + 4b)^2$ также используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2,5a^2$ и $b = 4b$.

$(2,5a^2 + 4b)^2 = (2,5a^2)^2 + 2 \cdot (2,5a^2) \cdot (4b) + (4b)^2$

Вычислим каждый член:

- $(2,5a^2)^2 = 2,5^2 \cdot (a^2)^2 = 6,25a^4$.

- $2 \cdot 2,5a^2 \cdot 4b = (2 \cdot 2,5 \cdot 4)a^2b = 20a^2b$.

- $(4b)^2 = 16b^2$.

Результат:

$6,25a^4 + 20a^2b + 16b^2$

Ответ: $6,25a^4 + 20a^2b + 16b^2$.

3) Для выражения $(\frac{5}{2}p - 0,5q^3)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для удобства вычислений приведем коэффициенты к одному виду. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{5}{2} = 2,5$.

Теперь выражение имеет вид $(2,5p - 0,5q^3)^2$. Здесь $a = 2,5p$ и $b = 0,5q^3$.

$(2,5p - 0,5q^3)^2 = (2,5p)^2 - 2 \cdot (2,5p) \cdot (0,5q^3) + (0,5q^3)^2$

Вычислим каждый член:

- $(2,5p)^2 = 2,5^2 \cdot p^2 = 6,25p^2$.

- $2 \cdot 2,5p \cdot 0,5q^3 = (2 \cdot 2,5 \cdot 0,5)pq^3 = 2,5pq^3$.

- $(0,5q^3)^2 = 0,5^2 \cdot (q^3)^2 = 0,25q^6$.

Результат:

$6,25p^2 - 2,5pq^3 + 0,25q^6$

Ответ: $6,25p^2 - 2,5pq^3 + 0,25q^6$.

4) Для выражения $(2,4m^3 - \frac{3}{4}t)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Приведем дробь к десятичному виду: $\frac{3}{4} = 0,75$.

Выражение принимает вид $(2,4m^3 - 0,75t)^2$. Здесь $a = 2,4m^3$ и $b = 0,75t$.

$(2,4m^3 - 0,75t)^2 = (2,4m^3)^2 - 2 \cdot (2,4m^3) \cdot (0,75t) + (0,75t)^2$

Вычислим каждый член:

- $(2,4m^3)^2 = 2,4^2 \cdot (m^3)^2 = 5,76m^6$.

- $2 \cdot 2,4m^3 \cdot 0,75t = (2 \cdot 2,4 \cdot 0,75)m^3t = 3,6m^3t$.

- $(0,75t)^2 = 0,75^2 \cdot t^2 = 0,5625t^2$.

Результат:

$5,76m^6 - 3,6m^3t + 0,5625t^2$

Ответ: $5,76m^6 - 3,6m^3t + 0,5625t^2$.

5) Для выражения $(\frac{7}{4} + 0,6b^4)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Приведем дробь к десятичному виду: $\frac{7}{4} = 1,75$.

Выражение принимает вид $(1,75 + 0,6b^4)^2$. Здесь $a = 1,75$ и $b = 0,6b^4$.

$(1,75 + 0,6b^4)^2 = (1,75)^2 + 2 \cdot 1,75 \cdot (0,6b^4) + (0,6b^4)^2$

Вычислим каждый член:

- $(1,75)^2 = 3,0625$.

- $2 \cdot 1,75 \cdot 0,6b^4 = (2 \cdot 1,75 \cdot 0,6)b^4 = 2,1b^4$.

- $(0,6b^4)^2 = 0,6^2 \cdot (b^4)^2 = 0,36b^8$.

Результат:

$3,0625 + 2,1b^4 + 0,36b^8$

Ответ: $3,0625 + 2,1b^4 + 0,36b^8$.

6) Для выражения $(\frac{3}{8}a - \frac{2}{3}b^4)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \frac{3}{8}a$ и $b = \frac{2}{3}b^4$.

$(\frac{3}{8}a - \frac{2}{3}b^4)^2 = (\frac{3}{8}a)^2 - 2 \cdot (\frac{3}{8}a) \cdot (\frac{2}{3}b^4) + (\frac{2}{3}b^4)^2$

Вычислим каждый член:

- $(\frac{3}{8}a)^2 = (\frac{3}{8})^2 \cdot a^2 = \frac{9}{64}a^2$.

- $2 \cdot (\frac{3}{8}a) \cdot (\frac{2}{3}b^4) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2}{8 \cdot 3}ab^4 = \frac{12}{24}ab^4 = \frac{1}{2}ab^4$.

- $(\frac{2}{3}b^4)^2 = (\frac{2}{3})^2 \cdot (b^4)^2 = \frac{4}{9}b^8$.

Результат:

$\frac{9}{64}a^2 - \frac{1}{2}ab^4 + \frac{4}{9}b^8$

Ответ: $\frac{9}{64}a^2 - \frac{1}{2}ab^4 + \frac{4}{9}b^8$.

32.23. Представьте в виде квадрата многочлен:

1) $a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16}$;

2) $a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8$;

3) $81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2$;

4) $16x^2 + 24x^3 + 9x^4$.

1) Для того чтобы представить многочлен $a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16}$ в виде квадрата, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении первый член $a^{10}$ можно представить как $(a^5)^2$, а третий член $25b^{16}$ можно представить как $(5b^8)^2$.

Таким образом, мы можем предположить, что $x = a^5$ и $y = 5b^8$.

Теперь проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $2xy$ со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot a^5 \cdot 5b^8 = -10a^5b^8$.

Так как все члены соответствуют формуле, мы можем записать исходный многочлен в виде квадрата разности:

$a^{10} - 10a^5b^8 + 25b^{16} = (a^5)^2 - 2 \cdot a^5 \cdot 5b^8 + (5b^8)^2 = (a^5 - 5b^8)^2$.

Ответ: $(a^5 - 5b^8)^2$.

2) Для того чтобы представить многочлен $a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8$ в виде квадрата, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $a^6$ можно представить как $(a^3)^2$, а третий член $9x^8$ можно представить как $(3x^4)^2$.

Таким образом, мы можем предположить, что $x = a^3$ и $y = 3x^4$.

Проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $2xy$: $2xy = 2 \cdot a^3 \cdot 3x^4 = 6a^3x^4$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому мы можем записать исходный многочлен в виде квадрата суммы:

$a^6 + 6a^3x^4 + 9x^8 = (a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot 3x^4 + (3x^4)^2 = (a^3 + 3x^4)^2$.

Ответ: $(a^3 + 3x^4)^2$.

3) Для того чтобы представить многочлен $81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2$ в виде квадрата, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член $81a^6$ можно представить как $(9a^3)^2$, а третий член $25b^4c^2$ можно представить как $(5b^2c)^2$.

Таким образом, мы можем предположить, что $x = 9a^3$ и $y = 5b^2c$.

Проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $-2xy$: $-2xy = -2 \cdot 9a^3 \cdot 5b^2c = -90a^3b^2c$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому мы можем записать исходный многочлен в виде квадрата разности:

$81a^6 - 90a^3b^2c + 25b^4c^2 = (9a^3)^2 - 2 \cdot 9a^3 \cdot 5b^2c + (5b^2c)^2 = (9a^3 - 5b^2c)^2$.

Ответ: $(9a^3 - 5b^2c)^2$.

4) Для того чтобы представить многочлен $16x^2 + 24x^3 + 9x^4$ в виде квадрата, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $16x^2$ можно представить как $(4x)^2$, а третий член $9x^4$ можно представить как $(3x^2)^2$.

Таким образом, мы можем предположить, что $x = 4x$ и $y = 3x^2$.

Проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $2xy$: $2xy = 2 \cdot 4x \cdot 3x^2 = 24x^3$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому мы можем записать исходный многочлен в виде квадрата суммы:

$16x^2 + 24x^3 + 9x^4 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3x^2 + (3x^2)^2 = (4x + 3x^2)^2$.

Ответ: $(4x + 3x^2)^2$.

32.24. Представьте в виде квадрата двучлена трехчлен:

1) $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$;

2) $\frac{x^2}{y^2} - 2 + \frac{y^2}{x^2}$;

3) $\frac{a^2}{b^2} - 2a + b^2$;

4) $\frac{a^2}{4b^2} + 2 + \frac{4b^2}{a^2}$;

5) $\frac{1}{4x^2} + 1 + x^2$;

6) $\frac{9x^2}{4y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{9x^2}$.

Для представления трехчлена в виде квадрата двучлена используются формулы сокращенного умножения:

Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

В каждом случае необходимо определить слагаемые, которые являются квадратами некоторых выражений ($a^2$ и $b^2$), а затем проверить, соответствует ли оставшееся слагаемое удвоенному произведению этих выражений ($2ab$ или $-2ab$).

1) $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы.Первый член - это квадрат $x$: $x^2 = (x)^2$.Третий член - это квадрат $\frac{1}{x}$: $\frac{1}{x^2} = (\frac{1}{x})^2$.Средний член - это удвоенное произведение $x$ и $\frac{1}{x}$: $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$.Следовательно, $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2$.

Ответ: $(x + \frac{1}{x})^2$

2) $\frac{x^2}{y^2} - 2 + \frac{y^2}{x^2}$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности.Первый член - это квадрат $\frac{x}{y}$: $\frac{x^2}{y^2} = (\frac{x}{y})^2$.Третий член - это квадрат $\frac{y}{x}$: $\frac{y^2}{x^2} = (\frac{y}{x})^2$.Средний член - это минус удвоенное произведение $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$: $-2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} = -2$.Следовательно, $\frac{x^2}{y^2} - 2 + \frac{y^2}{x^2} = (\frac{x}{y})^2 - 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})^2$.

Ответ: $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})^2$

3) $\frac{a^2}{b^2} - 2a + b^2$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности.Первый член - это квадрат $\frac{a}{b}$: $\frac{a^2}{b^2} = (\frac{a}{b})^2$.Третий член - это квадрат $b$: $b^2 = (b)^2$.Средний член - это минус удвоенное произведение $\frac{a}{b}$ и $b$: $-2 \cdot \frac{a}{b} \cdot b = -2a$.Следовательно, $\frac{a^2}{b^2} - 2a + b^2 = (\frac{a}{b})^2 - 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot b + (b)^2 = (\frac{a}{b} - b)^2$.

Ответ: $(\frac{a}{b} - b)^2$

4) $\frac{a^2}{4b^2} + 2 + \frac{4b^2}{a^2}$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы.Первый член - это квадрат $\frac{a}{2b}$: $\frac{a^2}{4b^2} = (\frac{a}{2b})^2$.Третий член - это квадрат $\frac{2b}{a}$: $\frac{4b^2}{a^2} = (\frac{2b}{a})^2$.Средний член - это удвоенное произведение $\frac{a}{2b}$ и $\frac{2b}{a}$: $2 \cdot \frac{a}{2b} \cdot \frac{2b}{a} = 2$.Следовательно, $\frac{a^2}{4b^2} + 2 + \frac{4b^2}{a^2} = (\frac{a}{2b})^2 + 2 \cdot \frac{a}{2b} \cdot \frac{2b}{a} + (\frac{2b}{a})^2 = (\frac{a}{2b} + \frac{2b}{a})^2$.

Ответ: $(\frac{a}{2b} + \frac{2b}{a})^2$

5) $\frac{1}{4x^2} + 1 + x^2$

Переставим слагаемые для удобства: $x^2 + 1 + \frac{1}{4x^2}$. Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы.Первый член - это квадрат $x$: $x^2 = (x)^2$.Третий член - это квадрат $\frac{1}{2x}$: $\frac{1}{4x^2} = (\frac{1}{2x})^2$.Средний член - это удвоенное произведение $x$ и $\frac{1}{2x}$: $2 \cdot x \cdot \frac{1}{2x} = 1$.Следовательно, $x^2 + 1 + \frac{1}{4x^2} = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2x} + (\frac{1}{2x})^2 = (x + \frac{1}{2x})^2$.

Ответ: $(x + \frac{1}{2x})^2$

6) $\frac{9x^2}{4y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{9x^2}$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности.Первый член - это квадрат $\frac{3x}{2y}$: $\frac{9x^2}{4y^2} = (\frac{3x}{2y})^2$.Третий член - это квадрат $\frac{1}{3x}$: $\frac{1}{9x^2} = (\frac{1}{3x})^2$.Средний член - это минус удвоенное произведение $\frac{3x}{2y}$ и $\frac{1}{3x}$: $-2 \cdot \frac{3x}{2y} \cdot \frac{1}{3x} = -\frac{6x}{6xy} = -\frac{1}{y}$.Следовательно, $\frac{9x^2}{4y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{9x^2} = (\frac{3x}{2y})^2 - 2 \cdot \frac{3x}{2y} \cdot \frac{1}{3x} + (\frac{1}{3x})^2 = (\frac{3x}{2y} - \frac{1}{3x})^2$.

Ответ: $(\frac{3x}{2y} - \frac{1}{3x})^2$

32.25. Упростите выражение:

1) $(11a - b)^2 + (9a + 7b)(8a - 13b);$

2) $(18x + 5y)(2x - 4y) - (6x - 3y)^2;$

3) $4x(3x - 2y) - (10y - 0.4x)^2;$

4) $(15a + 2b)^2 - (3a - 7b)(3b - 5a).$

1) $(11a - b)^2 + (9a + 7b)(8a - 13b)$

Сначала раскроем квадрат разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(11a - b)^2 = (11a)^2 - 2 \cdot 11a \cdot b + b^2 = 121a^2 - 22ab + b^2$

Затем перемножим две скобки:

$(9a + 7b)(8a - 13b) = 9a \cdot 8a + 9a \cdot (-13b) + 7b \cdot 8a + 7b \cdot (-13b) = 72a^2 - 117ab + 56ab - 91b^2 = 72a^2 - 61ab - 91b^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(121a^2 - 22ab + b^2) + (72a^2 - 61ab - 91b^2) = 121a^2 - 22ab + b^2 + 72a^2 - 61ab - 91b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(121a^2 + 72a^2) + (-22ab - 61ab) + (b^2 - 91b^2) = 193a^2 - 83ab - 90b^2$

Ответ: $193a^2 - 83ab - 90b^2$

2) $(18x + 5y)(2x - 4y) - (6x - 3y)^2$

Раскроем первые две скобки:

$(18x + 5y)(2x - 4y) = 18x \cdot 2x + 18x \cdot (-4y) + 5y \cdot 2x + 5y \cdot (-4y) = 36x^2 - 72xy + 10xy - 20y^2 = 36x^2 - 62xy - 20y^2$

Раскроем квадрат разности:

$(6x - 3y)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 3y + (3y)^2 = 36x^2 - 36xy + 9y^2$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(36x^2 - 62xy - 20y^2) - (36x^2 - 36xy + 9y^2) = 36x^2 - 62xy - 20y^2 - 36x^2 + 36xy - 9y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 - 36x^2) + (-62xy + 36xy) + (-20y^2 - 9y^2) = -26xy - 29y^2$

Ответ: $-26xy - 29y^2$

3) $4x(3x - 2y) - (10y - 0,4x)^2$

Раскроем первую скобку:

$4x(3x - 2y) = 12x^2 - 8xy$

Раскроем квадрат разности:

$(10y - 0,4x)^2 = (10y)^2 - 2 \cdot 10y \cdot 0,4x + (0,4x)^2 = 100y^2 - 8xy + 0,16x^2$

Вычтем второе выражение из первого:

$(12x^2 - 8xy) - (100y^2 - 8xy + 0,16x^2) = 12x^2 - 8xy - 100y^2 + 8xy - 0,16x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(12x^2 - 0,16x^2) + (-8xy + 8xy) - 100y^2 = 11,84x^2 - 100y^2$

Ответ: $11,84x^2 - 100y^2$

4) $(15a + 2b)^2 - (3a - 7b)(3b - 5a)$

Раскроем квадрат суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(15a + 2b)^2 = (15a)^2 + 2 \cdot 15a \cdot 2b + (2b)^2 = 225a^2 + 60ab + 4b^2$

Перемножим две скобки:

$(3a - 7b)(3b - 5a) = 3a \cdot 3b + 3a \cdot (-5a) - 7b \cdot 3b - 7b \cdot (-5a) = 9ab - 15a^2 - 21b^2 + 35ab$

Приведем подобные слагаемые во втором выражении:

$-15a^2 + (9ab + 35ab) - 21b^2 = -15a^2 + 44ab - 21b^2$

Вычтем второе выражение из первого:

$(225a^2 + 60ab + 4b^2) - (-15a^2 + 44ab - 21b^2) = 225a^2 + 60ab + 4b^2 + 15a^2 - 44ab + 21b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(225a^2 + 15a^2) + (60ab - 44ab) + (4b^2 + 21b^2) = 240a^2 + 16ab + 25b^2$

Ответ: $240a^2 + 16ab + 25b^2$

Решите уравнения (32.26–32.27):

32.26. 1) $(2a - 11)(11 + 2a) - (2a - 5)^2 = 0;$

2) $(4 + 9b)^2 + (9b + 2)(2 - 9b) = 0;$

3) $(2,5 - 8c)^2 - (8c - 1,5)(8c + 1,5) = 0;$

4) $(\frac{3}{4} - 5d)(5d + \frac{3}{4}) + (5d - \frac{3}{4})^2 = 0.$

1) $(2a - 11)(11 + 2a) - (2a - 5)^2 = 0$

Для решения уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ для первого слагаемого и квадратом разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ для второго.

Перепишем первое слагаемое в более удобном виде: $(2a - 11)(2a + 11)$.

Применим формулы:

$((2a)^2 - 11^2) - ((2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2) = 0$

$(4a^2 - 121) - (4a^2 - 20a + 25) = 0$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.

$4a^2 - 121 - 4a^2 + 20a - 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a^2) + 20a - 121 - 25 = 0$

$20a - 146 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$20a = 146$

Найдем $a$:

$a = \frac{146}{20} = \frac{73}{10} = 7,3$

Ответ: $a = 7,3$.

2) $(4 + 9b)^2 + (9b + 2)(2 - 9b) = 0$

Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ к первому слагаемому. Второе слагаемое является произведением суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(y+x)(x-y) = (x+y)(x-y) = x^2-y^2$.

Применим формулы:

$(4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 9b + (9b)^2) + (2^2 - (9b)^2) = 0$

$(16 + 72b + 81b^2) + (4 - 81b^2) = 0$

Раскроем скобки:

$16 + 72b + 81b^2 + 4 - 81b^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(81b^2 - 81b^2) + 72b + (16 + 4) = 0$

$72b + 20 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$72b = -20$

Найдем $b$ и сократим дробь:

$b = -\frac{20}{72} = -\frac{5 \cdot 4}{18 \cdot 4} = -\frac{5}{18}$

Ответ: $b = -\frac{5}{18}$.

3) $(2,5 - 8c)^2 - (8c - 1,5)(8c + 1,5) = 0$

К первому слагаемому применим формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. Второе слагаемое является произведением разности и суммы, что соответствует формуле разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

Применим формулы:

$((2,5)^2 - 2 \cdot 2,5 \cdot 8c + (8c)^2) - ((8c)^2 - (1,5)^2) = 0$

$(6,25 - 40c + 64c^2) - (64c^2 - 2,25) = 0$

Раскроем скобки:

$6,25 - 40c + 64c^2 - 64c^2 + 2,25 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(64c^2 - 64c^2) - 40c + (6,25 + 2,25) = 0$

$-40c + 8,5 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-40c = -8,5$

$40c = 8,5$

Найдем $c$ и преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для удобства сокращения:

$c = \frac{8,5}{40} = \frac{85}{400} = \frac{17 \cdot 5}{80 \cdot 5} = \frac{17}{80}$

Ответ: $c = \frac{17}{80}$.

4) $(\frac{3}{4} - 5d)(5d + \frac{3}{4}) + (5d - \frac{3}{4})^2 = 0$

Первое слагаемое преобразуем к виду $(\frac{3}{4} - 5d)(\frac{3}{4} + 5d)$, чтобы применить формулу разности квадратов. Ко второму слагаемому применим формулу квадрата разности.

Применим формулы:

$((\frac{3}{4})^2 - (5d)^2) + ((5d)^2 - 2 \cdot 5d \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2) = 0$

$(\frac{9}{16} - 25d^2) + (25d^2 - \frac{30d}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Раскроем скобки и упростим дробь:

$\frac{9}{16} - 25d^2 + 25d^2 - \frac{15d}{2} + \frac{9}{16} = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-25d^2 + 25d^2) - \frac{15d}{2} + (\frac{9}{16} + \frac{9}{16}) = 0$

$-\frac{15d}{2} + \frac{18}{16} = 0$

Сократим вторую дробь:

$-\frac{15d}{2} + \frac{9}{8} = 0$

Перенесем слагаемое с переменной в правую часть:

$\frac{9}{8} = \frac{15d}{2}$

Найдем $d$:

$d = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{15} = \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 15} = \frac{18}{120}$

Сократим полученную дробь:

$d = \frac{18 \div 6}{120 \div 6} = \frac{3}{20}$

Ответ: $d = \frac{3}{20}$.

32.27.

1) $(7 - 8x)(2x + 1) + (4x - 1)^2 = 0;$

2) $(2x - 5)^2 - (2x - 3)(2x + 3) = 15;$

3) $(3x + 5)(3x - 5) - (3x - 1)^2 = -4;$

4) $(9x + 2)(1 - 4x) + (5 - 6x)^2 = -32.$

1) $(7 - 8x)(2x + 1) + (4x - 1)^2 = 0$
Для решения уравнения раскроем скобки. Первое слагаемое является произведением двух двучленов. Перемножим их:
$(7 - 8x)(2x + 1) = 7 \cdot 2x + 7 \cdot 1 - 8x \cdot 2x - 8x \cdot 1 = 14x + 7 - 16x^2 - 8x$.
Приведем подобные члены: $14x - 8x - 16x^2 + 7 = 6x - 16x^2 + 7$.
Второе слагаемое — это квадрат разности. Используем формулу сокращенного умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$(6x - 16x^2 + 7) + (16x^2 - 8x + 1) = 0$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6x - 16x^2 + 7 + 16x^2 - 8x + 1 = 0$
$(-16x^2 + 16x^2) + (6x - 8x) + (7 + 1) = 0$
$-2x + 8 = 0$.
Решим получившееся линейное уравнение:
$-2x = -8$
$x = \frac{-8}{-2}$
$x = 4$.
Ответ: $4$.

2) $(2x - 5)^2 - (2x - 3)(2x + 3) = 15$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения.
Для первого слагаемого, квадрата разности, используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$.
Второе выражение является разностью квадратов. Используем формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.
Подставим раскрытые выражения в уравнение:
$(4x^2 - 20x + 25) - (4x^2 - 9) = 15$.
Раскроем вторые скобки, обращая внимание на знак минус перед ними:
$4x^2 - 20x + 25 - 4x^2 + 9 = 15$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) - 20x + (25 + 9) = 15$
$-20x + 34 = 15$.
Решим линейное уравнение:
$-20x = 15 - 34$
$-20x = -19$
$x = \frac{-19}{-20} = \frac{19}{20}$.
Ответ: $\frac{19}{20}$.

3) $(3x + 5)(3x - 5) - (3x - 1)^2 = -4$
Раскроем скобки. Первое произведение — это разность квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$:
$(3x + 5)(3x - 5) = (3x)^2 - 5^2 = 9x^2 - 25$.
Второе выражение — квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(3x - 1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$.
Подставим в исходное уравнение:
$(9x^2 - 25) - (9x^2 - 6x + 1) = -4$.
Раскроем скобки:
$9x^2 - 25 - 9x^2 + 6x - 1 = -4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 9x^2) + 6x + (-25 - 1) = -4$
$6x - 26 = -4$.
Решим полученное уравнение:
$6x = -4 + 26$
$6x = 22$
$x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.
Ответ: $\frac{11}{3}$.

4) $(9x + 2)(1 - 4x) + (5 - 6x)^2 = -32$
Раскроем скобки в каждом слагаемом.
Произведение двучленов:
$(9x + 2)(1 - 4x) = 9x \cdot 1 + 9x \cdot (-4x) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-4x) = 9x - 36x^2 + 2 - 8x = -36x^2 + x + 2$.
Квадрат разности:
$(5 - 6x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6x + (6x)^2 = 25 - 60x + 36x^2$.
Подставим в уравнение:
$(-36x^2 + x + 2) + (25 - 60x + 36x^2) = -32$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-36x^2 + x + 2 + 25 - 60x + 36x^2 = -32$
$(-36x^2 + 36x^2) + (x - 60x) + (2 + 25) = -32$
$-59x + 27 = -32$.
Решим уравнение:
$-59x = -32 - 27$
$-59x = -59$
$x = \frac{-59}{-59} = 1$.
Ответ: $1$.