Вопросы, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В чем сходство и различие между формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений?

2. От чего зависит использование формулы (1) и (2) “слева направо” или “справа налево”?

1. Формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений $a$ и $b$ выглядят так:

Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Сходство этих формул заключается в том, что правая часть обеих формул представляет собой многочлен (трехчлен), который содержит:

• квадрат первого выражения ($a^2$);
• квадрат второго выражения ($b^2$);
• удвоенное произведение первого и второго выражений ($2ab$).

Члены $a^2$ и $b^2$ всегда положительны.

Различие между формулами состоит только в знаке перед удвоенным произведением:

• в формуле квадрата суммы перед $2ab$ стоит знак «плюс»;
• в формуле квадрата разности перед $2ab$ стоит знак «минус».

Ответ: Сходство формул в том, что результат их применения — это трехчлен, состоящий из квадрата первого выражения, квадрата второго выражения и их удвоенного произведения. Различие заключается в знаке перед удвоенным произведением: «плюс» для квадрата суммы и «минус» для квадрата разности.

2. Использование формул сокращенного умножения «слева направо» или «справа налево» зависит от цели математического преобразования.

Использование «слева направо» (раскрытие скобок):

$(a \pm b)^2 \rightarrow a^2 \pm 2ab + b^2$

Этот способ применяется, когда необходимо преобразовать квадрат двучлена в многочлен. Основные цели:

• Упрощение выражений, содержащих скобки.
• Приведение многочлена к стандартному виду.
• Решение уравнений, где раскрытие скобок помогает упростить задачу.

Пример: Упростить выражение $(2x+1)^2 - 4x^2$. Раскрываем скобки: $(4x^2+4x+1) - 4x^2 = 4x+1$.

Использование «справа налево» (разложение на множители или выделение полного квадрата):

$a^2 \pm 2ab + b^2 \rightarrow (a \pm b)^2$

Этот способ применяется, когда необходимо представить трехчлен в виде квадрата двучлена. Основные цели:

• Разложение многочлена на множители.
• Сокращение алгебраических дробей.
• Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.
• Доказательство неравенств.

Пример: Разложить на множители $9x^2 - 12xy + 4y^2$. Этот трехчлен можно представить как $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2$, что соответствует формуле, и мы сворачиваем его в $(3x-2y)^2$.

Ответ: Выбор направления использования формулы зависит от поставленной задачи: если нужно раскрыть скобки и представить выражение в виде многочлена — используют «слева направо»; если нужно разложить многочлен на множители (свернуть в квадрат) — используют «справа налево».