Номер 31.26, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.26. Укажите, при каком наименьшем натуральном $k$ значение выражения:

1) $(k-3)^2 - (k+3)^2$ делится на 15;

2) $(7k+2)^2 - (7k-2)^2$ делится на 21?

1) Требуется найти наименьшее натуральное $k$, при котором значение выражения $(k-3)^2 - (k+3)^2$ делится на 15.

Упростим данное выражение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Положим $a = k-3$ и $b = k+3$.

$(k-3)^2 - (k+3)^2 = ((k-3) - (k+3)) \cdot ((k-3) + (k+3))$

Вычислим значение в каждой скобке:

$(k-3) - (k+3) = k - 3 - k - 3 = -6$

$(k-3) + (k+3) = k - 3 + k + 3 = 2k$

Таким образом, исходное выражение равно $(-6) \cdot (2k) = -12k$.

Теперь необходимо найти наименьшее натуральное $k$, при котором $-12k$ делится на 15. Это равносильно тому, что $12k$ делится на 15. Чтобы число $12k$ делилось на 15, оно должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) чисел 12 и 15.

Разложим числа 12 и 15 на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$

$15 = 3 \cdot 5$

НОК(12, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$.

Следовательно, наименьшее значение произведения $12k$ должно быть равно 60.

$12k = 60$

$k = \frac{60}{12} = 5$

$k=5$ — наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию.

Ответ: 5

2) Требуется найти наименьшее натуральное $k$, при котором значение выражения $(7k+2)^2 - (7k-2)^2$ делится на 21.

Снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 7k+2$ и $b = 7k-2$.

$(7k+2)^2 - (7k-2)^2 = ((7k+2) - (7k-2)) \cdot ((7k+2) + (7k-2))$

Вычислим значение в каждой скобке:

$(7k+2) - (7k-2) = 7k + 2 - 7k + 2 = 4$

$(7k+2) + (7k-2) = 7k + 2 + 7k - 2 = 14k$

Таким образом, исходное выражение равно $4 \cdot (14k) = 56k$.

Теперь необходимо найти наименьшее натуральное $k$, при котором $56k$ делится на 21. Запишем это условие в виде равенства: $56k = 21n$, где $n$ — некоторое целое число.

Сократим обе части уравнения на наибольший общий делитель (НОД) чисел 56 и 21. Так как $56 = 7 \cdot 8$ и $21 = 7 \cdot 3$, то НОД(56, 21) = 7.

Разделив уравнение на 7, получим: $8k = 3n$.

Поскольку числа 8 и 3 являются взаимно простыми, для выполнения этого равенства $k$ должно быть кратно 3.

Так как мы ищем наименьшее натуральное $k$, то наименьшим таким значением будет $k=3$.

Ответ: 3