Страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

139 Сколько можно составить пар, выбирая:

а) первый предмет из 4, а второй из 8 предметов;

б) первый предмет из 6, а второй из 3 предметов;

в) первый предмет из 15, а второй из 12 предметов;

г) первый предмет из 10 предметов, а второй из всех оставшихся после выбора первого предмета?

а) Чтобы найти общее количество пар, нужно перемножить количество вариантов выбора для каждого предмета. Это основное правило комбинаторики, известное как правило умножения. Для первого предмета есть 4 варианта выбора, а для второго — 8 вариантов.

Вычисляем произведение:

$4 \times 8 = 32$

Таким образом, можно составить 32 различные пары.

Ответ: 32 пары.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем правило умножения. Количество способов выбрать первый предмет — 6. Количество способов выбрать второй предмет — 3.

Общее количество возможных пар равно:

$6 \times 3 = 18$

Можно составить 18 различных пар.

Ответ: 18 пар.

в) В данном случае первый предмет можно выбрать из 15, а второй — из 12. Применяем правило умножения для нахождения общего числа комбинаций.

Количество пар равно произведению числа вариантов:

$15 \times 12 = 180$

Всего можно составить 180 пар.

Ответ: 180 пар.

г) В этой задаче оба предмета выбираются из одного и того же начального набора, состоящего из 10 предметов. Первый предмет можно выбрать 10 способами. После того как первый предмет выбран, в наборе остается $10 - 1 = 9$ предметов. Следовательно, второй предмет можно выбрать 9 способами из оставшихся.

Общее количество пар находим, перемножив количество вариантов выбора на каждом шаге:

$10 \times 9 = 90$

Таким образом, можно составить 90 пар, где предметы выбираются последовательно из одного набора без возвращения.

Ответ: 90 пар.

140 Сколько можно составить троек, выбирая:

a) первый предмет из 4, второй из 8, а третий из 5 предметов;

б) первый предмет из 7, второй из 4, а третий из 9 предметов;

в) первый предмет из 5, второй из 13, а третий из 21 предмета;

г) первый предмет из 8 предметов, второй и третий из оставшихся после выбора предыдущих?

а) первый предмет из 4, второй из 8, а третий из 5 предметов;

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Поскольку выбор каждого предмета является независимым событием, общее количество возможных троек равно произведению числа вариантов для каждого выбора.

Количество способов выбрать первый предмет: 4.

Количество способов выбрать второй предмет: 8.

Количество способов выбрать третий предмет: 5.

Общее число троек (N) равно:

$N = 4 \times 8 \times 5 = 160$

Ответ: 160.

б) первый предмет из 7, второй из 4, а третий из 9 предметов;

Аналогично предыдущему пункту, применяем правило умножения, так как выбор каждого предмета не зависит от выбора других.

Количество способов выбрать первый предмет: 7.

Количество способов выбрать второй предмет: 4.

Количество способов выбрать третий предмет: 9.

Общее число троек (N) равно:

$N = 7 \times 4 \times 9 = 252$

Ответ: 252.

в) первый предмет из 5, второй из 13, а третий из 21 предмета;

Используем то же правило умножения.

Количество способов выбрать первый предмет: 5.

Количество способов выбрать второй предмет: 13.

Количество способов выбрать третий предмет: 21.

Общее число троек (N) равно:

$N = 5 \times 13 \times 21 = 65 \times 21 = 1365$

Ответ: 1365.

г) первый предмет из 8 предметов, второй и третий из оставшихся после выбора предыдущих?

В этом случае выбор предметов зависим. Мы выбираем три предмета из одной группы, состоящей из 8 предметов, без возвращения. Это означает, что после каждого выбора количество доступных предметов уменьшается.

Количество способов выбрать первый предмет: 8.

После того как первый предмет выбран, остается 7 предметов. Следовательно, количество способов выбрать второй предмет: 7.

После выбора первых двух предметов остается 6. Количество способов выбрать третий предмет: 6.

Общее количество способов составить такую тройку находится по правилу умножения:

$N = 8 \times 7 \times 6 = 336$

Такая комбинация называется размещением без повторений и вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае это $A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

Ответ: 336.

141 В школе есть все классы — с 1 по 11. Каждый из них имеет дополнительную букву А, Б, В, Г или Д. Например, класс 1А, 7Б и т. д. Сколько всего классов в этой школе?

Чтобы найти общее количество классов в школе, нужно умножить количество номерных параллелей на количество буквенных обозначений для каждой параллели.

1. Определим количество номерных параллелей.
В школе есть классы с 1 по 11. Это значит, что всего 11 параллелей (1-е классы, 2-е классы и так далее до 11-х).

2. Определим количество буквенных обозначений.
Каждый класс имеет дополнительную букву: А, Б, В, Г или Д. Всего 5 различных букв.

3. Рассчитаем общее количество классов.
Для каждой из 11 параллелей существует 5 вариантов классов. Таким образом, общее количество классов равно произведению числа параллелей на число букв:

$11 \times 5 = 55$

Ответ: 55 классов.

142 В автоматических камерах хранения на железнодорожных вокзалах применяется шифр, который состоит из одной буквы и трёх цифр. Буквы берутся от А до К, исключая буквы Ё и Й, а цифры могут быть любыми — от 0 до 9.

Например, Д195.

Сколько можно составить различных шифров?

Для решения задачи воспользуемся правилом умножения в комбинаторике. Шифр состоит из двух независимых частей: одной буквы и трёх цифр. Чтобы найти общее количество возможных шифров, нужно перемножить количество вариантов для каждой части.

1. Найдём количество возможных вариантов для буквы.
В шифре используются буквы русского алфавита в диапазоне от А до К включительно. Перечислим все буквы в этом диапазоне: А, Б, В, Г, Д, Е, Ё, Ж, З, И, Й, К. Всего их 12.
По условию, буквы Ё и Й должны быть исключены.
Следовательно, количество доступных для выбора букв равно:
$12 - 2 = 10$ букв.

2. Найдём количество возможных вариантов для цифр.
Шифр содержит три цифры. Каждая из трёх цифр может быть любой в диапазоне от 0 до 9. Это значит, что для каждой из трёх позиций есть 10 вариантов (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Поскольку цифры могут повторяться, общее количество комбинаций для трёх цифр вычисляется как произведение количества вариантов для каждой позиции:
$10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$ комбинаций.

3. Рассчитаем общее количество различных шифров.
Теперь умножим количество вариантов для буквы на количество вариантов для цифровой части:
$10 \times 1000 = 10000$.
Таким образом, можно составить 10 000 различных шифров.

Ответ: 10000.

143 На день школы каждая девочка подарила каждому мальчику открытку, а каждый мальчик подарил каждой девочке гвоздику. Чего было больше — подаренных открыток или подаренных гвоздик?

Для решения этой задачи давайте обозначим количество девочек в школе буквой $Д$, а количество мальчиков — буквой $М$.

Рассчитаем общее количество подаренных открыток. По условию, каждая из $Д$ девочек подарила открытку каждому из $М$ мальчиков. Это означает, что каждая девочка подарила $М$ открыток. Чтобы найти общее количество, нужно умножить число девочек на количество открыток, подаренных каждой из них:

Количество открыток = $Д \times М$.

Теперь рассчитаем общее количество подаренных гвоздик. Каждый из $М$ мальчиков подарил гвоздику каждой из $Д$ девочек. Это означает, что каждый мальчик подарил $Д$ гвоздик. Чтобы найти общее количество, нужно умножить число мальчиков на количество гвоздик, подаренных каждым из них:

Количество гвоздик = $М \times Д$.

Сравним два полученных выражения: $Д \times М$ и $М \times Д$. В математике умножение обладает переместительным (коммутативным) свойством, которое гласит, что от перестановки множителей произведение не меняется. Таким образом:

$Д \times М = М \times Д$

Из этого следует, что количество подаренных открыток в точности равно количеству подаренных гвоздик.

Ответ: Подаренных открыток и подаренных гвоздик было поровну.

144 Составляются различные последовательности из цифр 0 и 1 (двоичные последовательности). Сколько существует двоичных последовательностей длины:

а) 1;

б) 3;

в) 10;

г) $n$?

а) 1; Двоичная последовательность состоит из цифр 0 и 1. Если длина последовательности равна 1, то она состоит из одного символа. Этот символ может быть либо 0, либо 1. Таким образом, существует всего 2 возможные последовательности: (0) и (1). В общем виде, количество последовательностей длины $k$, которые можно составить из $m$ различных символов, равно $m^k$. В данном случае $m=2$ (символы 0 и 1) и $k=1$. Число последовательностей равно $2^1 = 2$.

Ответ: 2

б) 3; Для двоичной последовательности длины 3 имеется три позиции. На каждую из этих позиций можно поставить одну из двух цифр: 0 или 1. Поскольку выбор цифры для каждой позиции является независимым событием, общее количество комбинаций можно найти по правилу произведения. Количество вариантов для первой позиции — 2. Количество вариантов для второй позиции — 2. Количество вариантов для третьей позиции — 2. Общее количество последовательностей: $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

в) 10; Аналогично предыдущим пунктам, для последовательности длины 10 имеется 10 позиций. Для каждой из 10 позиций существует 2 варианта выбора (0 или 1). Используя правило произведения, общее количество различных последовательностей будет равно произведению числа вариантов для каждой из 10 позиций: $\underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{10 \text{ раз}} = 2^{10}$. Вычислим это значение: $2^{10} = 1024$.

Ответ: 1024

г) n? Обобщим задачу для произвольной длины $n$. Двоичная последовательность длины $n$ имеет $n$ позиций. Для каждой из $n$ позиций есть два возможных значения: 0 или 1. Применяя правило произведения, мы должны перемножить количество вариантов для каждой из $n$ позиций. Следовательно, общее количество двоичных последовательностей длины $n$ вычисляется по формуле: $N = \underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{n \text{ раз}} = 2^n$.

Ответ: $2^n$

145 На приёме в посольстве встретились две делегации, в каждой из которых было несколько дипломатов (больше одного). Каждый дипломат одной делегации пожал руку каждому дипломату второй делегации. Сколько было членов в каждой делегации, если всего произошло 143 рукопожатия?

Указание. Если в первой делегации было $x$ дипломатов, а во второй — $y$, то всего рукопожатий было $xy$. Число 143 можно разложить на натуральные множители двумя способами: $143 = 1 \cdot 143$ и $143 = 11 \cdot 13$.

Пусть в первой делегации было $x$ дипломатов, а во второй — $y$ дипломатов.

Согласно условию задачи, каждый дипломат из первой делегации ($x$ человек) пожал руку каждому дипломату из второй делегации ($y$ человек). Общее число рукопожатий вычисляется как произведение числа дипломатов в одной делегации на число дипломатов в другой. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$x \cdot y = 143$

Также в условии сказано, что в каждой делегации было "несколько дипломатов (больше одного)". Это накладывает на наши переменные следующие ограничения: $x > 1$ и $y > 1$.

Теперь нам нужно найти все пары натуральных чисел, произведение которых равно 143. Для этого разложим число 143 на множители. Как указано в подсказке к задаче, у числа 143 есть две пары натуральных множителей:

1) $1 \cdot 143$

2) $11 \cdot 13$

Рассмотрим эти два варианта в соответствии с условиями задачи:

Первый вариант ($x=1$, $y=143$ или наоборот) нам не подходит, так как он противоречит условию, что в каждой делегации должно быть больше одного дипломата ($x > 1$ и $y > 1$).

Второй вариант ($x=11$, $y=13$ или наоборот) полностью удовлетворяет условию задачи, так как оба числа (11 и 13) больше 1.

Следовательно, в одной делегации было 11 членов, а в другой — 13.

Ответ: в одной делегации было 11 дипломатов, а в другой — 13 дипломатов.

1 Сформулируйте комбинаторное правило умножения для подсчёта числа комбинаций предметов двух множеств.

1 Комбинаторное правило умножения (также известное как основное правило комбинаторики) позволяет вычислить общее количество способов, которыми можно составить комбинацию из элементов двух (или более) множеств.

Формулировка для двух множеств:
Если элемент $a$ из множества $A$ можно выбрать $m$ способами, и после каждого такого выбора элемент $b$ из множества $B$ можно выбрать $n$ способами, то упорядоченную пару $(a, b)$ можно составить $m \cdot n$ способами.

С точки зрения теории множеств, это правило определяет мощность декартова произведения двух конечных множеств. Если мощность множества $A$ равна $m$ (то есть $|A| = m$), а мощность множества $B$ равна $n$ (то есть $|B| = n$), то мощность их декартова произведения $A \times B$ (множества всех возможных упорядоченных пар) равна произведению их мощностей.

Формула для подсчета числа комбинаций:
$N = |A \times B| = |A| \cdot |B| = m \cdot n$
где $N$ – общее число возможных комбинаций, $m$ – число элементов в первом множестве, $n$ – число элементов во втором множестве.

Пример: В кафе предлагают 5 сортов мороженого и 3 вида топпинга. Сколько различных вариантов порции мороженого с одним топпингом можно заказать?
Решение: Мороженое (элемент из первого множества) можно выбрать $m=5$ способами. Топпинг (элемент из второго множества) можно выбрать $n=3$ способами. Согласно правилу умножения, общее число вариантов равно:
$N = 5 \cdot 3 = 15$
Таким образом, можно составить 15 различных комбинаций.

Ответ: Если первый предмет можно выбрать $m$ способами, а второй предмет – $n$ способами, то общее число комбинаций, состоящих из одного первого и одного второго предмета, равно произведению $m \cdot n$.

2 Сформулируйте комбинаторное правило умножения для нескольких множеств.

Комбинаторное правило умножения (основной принцип комбинаторики) для нескольких множеств формулируется следующим образом:

Пусть необходимо совершить $k$ последовательных действий. Если первое действие можно выполнить $n_1$ способами, после чего второе действие можно выполнить $n_2$ способами, затем третье действие — $n_3$ способами, и так до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то все $k$ действий вместе можно выполнить $N$ способами, где $N$ вычисляется как произведение числа способов для каждого действия.

Математически это записывается так:

$N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \dots \cdot n_k$

Если рассматривать это правило в терминах теории множеств, то оно звучит так:

Пусть даны $k$ конечных множеств $A_1, A_2, \dots, A_k$ с мощностями (количеством элементов) $|A_1| = n_1, |A_2| = n_2, \dots, |A_k| = n_k$ соответственно. Тогда количество всех возможных упорядоченных наборов (кортежей) вида $(a_1, a_2, \dots, a_k)$, где $a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \dots, a_k \in A_k$, равно произведению мощностей этих множеств. Это число равно мощности декартова произведения данных множеств:

$|A_1 \times A_2 \times \dots \times A_k| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot \dots \cdot |A_k| = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$

Пример:

Предположим, в магазине продаются:

• 5 видов рубашек (множество $A_1$, $n_1 = 5$)
• 3 вида брюк (множество $A_2$, $n_2 = 3$)
• 2 вида ботинок (множество $A_3$, $n_3 = 2$)

Нужно определить, сколько различных комплектов одежды (рубашка + брюки + ботинки) можно составить.

Выбор рубашки — это первое действие, которое можно совершить 5 способами. Выбор брюк — второе, его можно совершить 3 способами. Выбор ботинок — третье, 2 способа. Поскольку выбор элемента из одного множества не влияет на количество вариантов выбора из других, мы можем применить правило умножения.

Общее количество комплектов $N$ будет равно:

$N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$

Таким образом, можно составить 30 различных комплектов одежды.

Ответ: Если элемент $a_1$ можно выбрать из множества $A_1$ $n_1$ способами, после этого элемент $a_2$ из множества $A_2$ $n_2$ способами, и так далее до элемента $a_k$ из множества $A_k$, который можно выбрать $n_k$ способами, то общее число способов составить упорядоченный набор $(a_1, a_2, \dots, a_k)$ равно произведению $N = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$.