Страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1. Можно ли совершенно точно определить понятие «численность населения страны»?

Определить численность населения страны с абсолютной, совершенной точностью в конкретный момент времени практически невозможно. Это связано с несколькими фундаментальными причинами, как методологического, так и концептуального характера.

• Постоянная динамика населения. Численность населения — это не статичная величина. Каждую секунду в стране кто-то рождается, кто-то умирает, люди въезжают в страну (иммиграция) и выезжают из нее (эмиграция). Из-за этого непрерывного процесса точное число людей постоянно меняется, и зафиксировать его одномоментно в масштабах всей страны невозможно.
• Ограничения методов сбора данных. Основным источником данных о населении является всеобщая перепись, но и она не дает абсолютной точности:
  • Периодичность: Переписи проводятся редко (обычно раз в 10 лет), поэтому их данные быстро устаревают.
  • Недоучет и двойной счет: В ходе переписи всегда есть риск не учесть некоторые группы населения (например, бездомных, нелегальных мигрантов, жителей отдаленных районов) или, наоборот, посчитать кого-то дважды (например, студентов, живущих в одном городе, а зарегистрированных в другом).
  • Временной лаг: Перепись не проводится в один миг. Сбор данных растягивается на недели, и за это время численность населения успевает измениться.
• Неоднозначность самого понятия «население». Существуют различные определения того, кого считать населением страны, что влияет на итоговую цифру:
  • Постоянное население (de jure): Люди, юридически приписанные к данной территории, даже если они временно отсутствуют.
  • Наличное население (de facto): Люди, физически находящиеся на территории страны в момент учета, включая туристов и временных работников.
  • Учет граждан, постоянно проживающих за рубежом, и иностранцев, проживающих в стране, также может варьироваться.
• Погрешности в текущем учете. В периоды между переписями демографы используют данные о регистрации рождений, смертей и миграции для оценки численности населения. Однако эти данные, особенно касающиеся миграции, могут быть неполными и содержать погрешности.

Таким образом, любая официальная цифра численности населения страны является не абсолютно точным значением, а научно обоснованной статистической оценкой, рассчитанной на определенную дату.

Ответ: Нет, совершенно точно определить понятие «численность населения страны» и, соответственно, подсчитать его точное значение в конкретный момент времени невозможно из-за постоянной динамики (рождения, смерти, миграция), погрешностей методов сбора данных (переписей) и неоднозначности самого определения (кого именно считать населением).

2 Приведите несколько факторов, влияющих на изменчивость числа жителей страны. Как вы думаете, зачем нужно знать численность населения страны?

Приведите несколько факторов, влияющих на изменчивость числа жителей страны.

Изменчивость числа жителей страны (демографическая динамика) складывается из двух основных компонентов: естественного движения и механического движения (миграции) населения. На эти процессы влияет комплекс факторов.

• Естественное движение населения. Это разница между числом родившихся и умерших за определенный период. Оно определяет естественный прирост или убыль населения.
  • Факторы, влияющие на рождаемость: уровень экономического развития и благосостояния граждан, уровень образования и степень вовлеченности женщин в общественное производство, культурные и религиозные традиции, государственная демографическая политика (например, выплаты за рождение детей), уровень развития медицины, степень урбанизации.
  • Факторы, влияющие на смертность: качество и доступность медицинского обслуживания, уровень жизни населения (качество питания, санитарные условия), экологическая обстановка, наличие военных конфликтов, распространенность вредных привычек.
• Механическое движение населения (миграция). Это разница между числом людей, прибывших в страну (иммигрантов), и числом людей, покинувших ее (эмигрантов).
  • Причины миграции: экономические (поиск работы и лучших условий жизни), политические (войны, преследования, нестабильность), социальные (воссоединение семьи, получение образования), экологические (природные и техногенные катастрофы).

Ответ: Ключевыми факторами, влияющими на изменчивость числа жителей страны, являются рождаемость, смертность и миграция, которые, в свою очередь, зависят от комплекса социально-экономических, политических, культурных и экологических условий.

Как вы думаете, зачем нужно знать численность населения страны?

Знание точной численности населения, его структуры (по полу, возрасту, национальности) и распределения по территории является критически важной информацией для эффективного управления государством и планирования его развития. Основные цели:

• Социально-экономическое планирование: На основе этих данных правительство рассчитывает потребности в социальных объектах (школах, больницах, детских садах), планирует объемы социальных выплат (пенсий, пособий), оценивает трудовые ресурсы страны, прогнозирует потребительский спрос и формирует бюджет.
• Развитие инфраструктуры: Данные о населении и его плотности необходимы для планирования строительства жилья, дорог, общественного транспорта и коммунальных сетей (водоснабжение, энергетика).
• Политические процессы: Численность избирателей является основой для организации выборов, в частности, для определения границ избирательных округов.
• Обороноспособность и безопасность: Информация о численности и возрастно-половой структуре населения позволяет оценить мобилизационный потенциал страны.
• Международные отношения: Численность населения — один из важных показателей, определяющих экономический и политический вес страны на мировой арене. Эти данные используются международными организациями (ООН, Всемирный банк) для сравнительного анализа и распределения помощи.
• Бизнес и наука: Компании используют демографические данные для маркетинговых исследований и определения стратегии развития. Ученые (демографы, социологи, экономисты) изучают эти данные для понимания общественных процессов.

Ответ: Знать численность населения страны необходимо для эффективного государственного управления, долгосрочного планирования в экономике и социальной сфере, развития инфраструктуры, организации политических процессов и обеспечения национальной безопасности.

3 Почему размеры готовой мебели обычно указывают в сантиметрах, а не в миллиметрах?

Размеры готовой мебели указывают в сантиметрах, а не в миллиметрах, по нескольким ключевым причинам, которые касаются удобства восприятия, необходимой точности и различий между производственными процессами и конечным потребителем.

Удобство восприятия и масштаб

Для человека сантиметр является более естественной и легко воспринимаемой единицей измерения, когда речь идет о предметах размером с мебель. Габариты стола, например, $120 \times 80$ см, интуитивно понятны и легко представимы в пространстве комнаты. Те же размеры в миллиметрах, $1200 \times 800$ мм, выглядят как большие числа, что затрудняет их быструю оценку и сравнение. Сантиметры лучше соответствуют масштабу объекта.

Достаточная точность для потребителя

При выборе мебели для дома или офиса покупателю не требуется точность до миллиметра. Важно, чтобы предмет мебели вписался в отведенное для него пространство, и для этого точности до сантиметра более чем достаточно. Погрешность в несколько миллиметров при замере помещения или в габаритах самой мебели является несущественной и не влияет на решение о покупке. Указание миллиметров создавало бы избыточную, ненужную для потребителя информацию.

Разница между производством и продажей

На этапе проектирования и изготовления мебели, наоборот, используются миллиметры. В технических чертежах, спецификациях для станков ЧПУ и инструкциях по сборке миллиметры необходимы для обеспечения высокой точности соединения деталей, расположения крепежа и качества конечного изделия. Однако после того, как мебель произведена, эта техническая точность "скрыта" внутри конструкции. Для потребителя важны внешние, габаритные размеры. Поэтому для маркетинговых материалов и ценников производственные размеры в миллиметрах переводят в более удобные для покупателя сантиметры (соотношение: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).

Сложившаяся практика

Использование сантиметров для указания размеров мебели, одежды, роста человека и других соразмерных объектов — это общепринятая практика и стандарт в странах с метрической системой. Потребители привыкли к этому и ожидают увидеть размеры именно в сантиметрах. Отход от этой традиции вызвал бы путаницу и неудобства.

Ответ: Размеры готовой мебели указывают в сантиметрах, так как эта единица измерения наиболее удобна для восприятия покупателем, обеспечивает достаточную для бытовых нужд точность и является общепринятым стандартом в розничной торговле. В то время как миллиметры критически важны для точности на производстве, для конечного потребителя они являются избыточной информацией.

4 Приведите примеры измерений длины, когда точность $ \pm 1 $ мм недостаточна.

Точность измерения длины в $ \pm 1 $ мм является недостаточной во многих областях науки, техники и производства, где размеры объектов или допуски на их изготовление значительно меньше миллиметра. В таких случаях используются более точные измерительные инструменты, например, штангенциркуль (точность до $0.02$ мм), микрометр (точность до $0.001$ мм) или электронные микроскопы.

Ниже приведены конкретные примеры, когда точность в $1$ мм неприемлема.

• Машиностроение и двигателестроение. При изготовлении деталей, работающих в сопряжении, таких как поршни и цилиндры в двигателе внутреннего сгорания, подшипники качения или валы, зазоры и посадки определяются с точностью до сотых или даже тысячных долей миллиметра (микрометров). Погрешность в $1$ мм приведет к тому, что детали либо не соберутся вместе, либо будут иметь огромный люфт, что сделает механизм неработоспособным или приведет к его быстрому разрушению.

  Ответ: Изготовление деталей двигателя, подшипников и других прецизионных механизмов.

• Производство микроэлектроники. Современные процессоры и микросхемы содержат миллиарды транзисторов, размеры которых измеряются в нанометрах (нм). $1$ мм равен $1,000,000$ нм. Технологический процесс изготовления чипов требует позиционирования элементов с нанометровой точностью. Ошибка в $1$ мм сравнима с размером целого города в масштабах микросхемы.

  Ответ: Производство микросхем, процессоров и других компонентов микроэлектроники.

• Медицина, в частности офтальмология и хирургия. При проведении лазерной коррекции зрения (например, LASIK) толщина удаляемого слоя роговицы измеряется в микрометрах ($1 \text{ мкм} = 0.001 \text{ мм}$). Ошибка в $1$ мм была бы фатальной для зрения пациента. Также в нейрохирургии или при изготовлении имплантов требуется точность, значительно превышающая $1$ мм.

  Ответ: Лазерная коррекция зрения, изготовление медицинских имплантов.

• Научные исследования в физике и химии. В экспериментальной физике часто измеряют длины волн света (сотни нанометров), межатомные расстояния в кристаллах (десятые доли нанометра) или толщину тонких пленок. Во всех этих случаях погрешность в $1$ мм абсолютно недопустима, так как она на много порядков больше измеряемых величин.

  Ответ: Измерение длины волны света или межатомных расстояний.

• Ювелирное дело и часовое производство. При огранке драгоценных камней и изготовлении сложных ювелирных изделий важна точность до десятых долей миллиметра для правильной посадки камней и совпадения элементов. В механических часах размеры шестеренок, осей и других деталей требуют точности в сотые доли миллиметра для обеспечения хода часов.

  Ответ: Изготовление деталей для механических часов и огранка драгоценных камней.

5 С какой точностью, на ваш взгляд, следует измерять напряжение в бытовой электросети?

Точность, с которой следует измерять напряжение в бытовой электросети, определяется практическими задачами. Для большинства бытовых нужд нет необходимости в лабораторной точности, но измерение должно быть достаточно достоверным, чтобы оценить качество электроснабжения и его безопасность для бытовой техники.

Обоснование требуемой точности

1. Стандарты напряжения. В России и большинстве стран Европы номинальное напряжение в бытовой сети составляет $U_{ном} = 230$ В. Согласно межгосударственному стандарту ГОСТ 29322-2014 (IEC 60038:2009), нормально допустимые и предельно допустимые отклонения напряжения не должны превышать $\pm10\%$ от номинального значения. Таким образом, напряжение должно находиться в диапазоне:
Нижняя граница: $U_{min} = 230 \text{ В} - 10\% \cdot 230 \text{ В} = 207 \text{ В}$
Верхняя граница: $U_{max} = 230 \text{ В} + 10\% \cdot 230 \text{ В} = 253 \text{ В}$
Основная задача бытового измерения — проверить, находится ли текущее напряжение в этом допустимом диапазоне.

2. Практические цели. Длительная работа приборов при напряжении, выходящем за указанные пределы, может привести к их неправильной работе или даже выходу из строя. Например, при пониженном напряжении электродвигатели (в холодильниках, насосах) могут перегреваться, а при повышенном — могут сгореть импульсные блоки питания в современной электронике. Поэтому важно иметь возможность определить, когда напряжение приближается к границам допустимого диапазона.

3. Выбор точности. Чтобы уверенно отличать напряжение, находящееся в норме (например, 210 В), от пониженного (например, 205 В), погрешность измерения должна быть значительно меньше, чем 5 В. Если погрешность измерения будет составлять, например, 10 В, то при показании прибора 207 В реальное значение может оказаться как 197 В (что является серьезным отклонением), так и 217 В (что является нормой). Такая неопределенность делает измерение малополезным.
Поэтому для практических целей достаточной является абсолютная погрешность измерения порядка 1–2 вольт. Это соответствует относительной погрешности около $ \frac{1 \text{ В}}{230 \text{ В}} \times 100\% \approx 0.43\% $. Точность в 1% (что соответствует абсолютной погрешности около 2.3 В) также является приемлемой. Большинство доступных бытовых цифровых мультиметров обеспечивают такую или даже лучшую точность.

Более высокая точность (доли вольта) для бытовых нужд избыточна, так как напряжение в сети постоянно колеблется на небольшую величину из-за изменения общей нагрузки в сети, и столь точное мгновенное значение не несет важной практической информации.

Вывод

Для бытовых целей напряжение в электросети следует измерять с точностью, позволяющей получить значение с абсолютной погрешностью не более 1-2 вольт. Этого вполне достаточно, чтобы надежно оценить соответствие напряжения стандартам и принять своевременные меры в случае значительных отклонений.

Ответ: Напряжение в бытовой электросети целесообразно измерять с точностью до 1 вольта.

6 Укажите подходящую единицу измерения массы морского судна; железнодорожного вагона; шоколадки; человека.

Морское судно
Морские суда — это очень массивные объекты. Их массу, или, точнее, водоизмещение, которое также измеряется в единицах массы, принято выражать в тоннах. Например, масса крупного круизного лайнера или танкера может составлять десятки и даже сотни тысяч тонн. Использование килограммов привело бы к очень большим и неудобным для восприятия числам (например, 50 000 000 кг вместо 50 000 т). Единица измерения "тонна" ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$) является стандартной в судостроении и мореходстве для обозначения таких больших масс.
Ответ: тонна.

Железнодорожный вагон
Железнодорожные вагоны, как и морские суда, являются тяжёлыми объектами, хотя их масса значительно меньше. Масса пустого грузового вагона составляет около 20–25 тонн, а гружёного может достигать 90–100 тонн и более. Выражать такую массу в килограммах (например, 25 000 кг) менее удобно, чем в тоннах. Поэтому для измерения массы железнодорожных вагонов наиболее подходящей единицей является тонна.
Ответ: тонна.

Шоколадка
Шоколадка — это лёгкий продукт. Стандартная плитка шоколада обычно весит от 80 до 100 граммов. Использование килограммов для измерения её массы привело бы к дробным значениям (например, 0,1 кг), что непрактично в быту и торговле. Грамм ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$) является оптимальной единицей измерения для таких небольших масс, так как позволяет использовать целые и легко запоминаемые числа.
Ответ: грамм.

Человек
Массу тела человека принято измерять в килограммах. Средняя масса взрослого человека варьируется в пределах от 50 до 100 кг. Эта единица измерения обеспечивает удобный числовой диапазон для повседневного использования, в медицине и спорте. Использование граммов (например, 75 000 г) сделало бы число слишком большим, а использование тонн (например, 0,075 т) — слишком маленьким и неудобным для восприятия.
Ответ: килограмм.

7 Температуру в России и в большинстве других стран измеряют в градусах Цельсия¹. Укажите подходящую точность измерения для:

температуры воздуха в комнате или на улице;

тела человека;

пламени в газовой плите;

температуры на поверхности звезды.

Выбор подходящей точности измерения температуры зависит от диапазона измеряемых величин и от практической значимости малых изменений температуры в конкретной ситуации.

Для измерения температуры воздуха в быту (в комнате или на улице) достаточна точность, которая позволяет человеку оценить уровень комфорта или подготовиться к погодным условиям. Изменение температуры на $1^\circ\text{C}$ уже является ощутимым. Более высокая точность, например, до десятых долей градуса, в повседневной жизни не требуется. Большинство бытовых и уличных термометров имеют цену деления шкалы в $1^\circ\text{C}$.

Ответ: $1^\circ\text{C}$.

Температура тела — это важный медицинский показатель состояния здоровья. Организм поддерживает нормальную температуру в очень узком диапазоне (около $36.6^\circ\text{C}$). Отклонение от нормы даже на $0.2-0.3^\circ\text{C}$ может свидетельствовать о воспалительном процессе или другом заболевании. Поэтому для медицинских целей необходима высокая точность. Стандартные медицинские термометры обеспечивают точность измерения до $0.1^\circ\text{C}$.

Ответ: $0.1^\circ\text{C}$.

Температура пламени в газовой плите очень высока и может достигать $1500–2000^\circ\text{C}$. При таких высоких температурах погрешность измерения в несколько десятков градусов является незначительной и не влияет на процесс приготовления пищи. В быту мы регулируем не точную температуру пламени, а общую тепловую мощность конфорки. Поэтому для практических целей достаточна весьма приблизительная оценка температуры.

Ответ: $50-100^\circ\text{C}$.

Температура на поверхности звёзд огромна, она составляет тысячи и десятки тысяч градусов Цельсия (например, у поверхности Солнца — около $5500^\circ\text{C}$). Эти значения получают с помощью косвенных астрофизических методов, например, анализа спектра излучения, которые сами по себе имеют погрешность. На фоне таких колоссальных величин точность в несколько градусов или даже десятков градусов абсолютно не важна. В астрономии температуру звёзд обычно указывают с точностью до сотен градусов.

Ответ: $100-1000^\circ\text{C}$.

93 Рассмотрите таблицу 33. В ней даны допустимые погрешности весов в разных диапазонах измерения. Предположим, что весы исправны и погрешность измерения не выходит за пределы допустимой. Запишите с помощью двойного неравенства границы, в которых находится истинное значение массы $m$ некоторого груза, если при взвешивании этого груза весы показывают:

а) 38 кг;

б) 129 кг;

в) 2956 кг;

г) 2543 кг.

Для решения этой задачи необходимо определить допустимую погрешность весов для каждого диапазона измерений. Поскольку таблица 33 не приведена, воспользуемся стандартными данными, которые обычно используются в таких задачах:

• Для диапазона от 10 кг до 100 кг, допустимая погрешность составляет 0,1 кг.
• Для диапазона от 100 кг до 1000 кг, допустимая погрешность составляет 0,5 кг.
• Для диапазона от 1000 кг до 2500 кг, допустимая погрешность составляет 1 кг.
• Для диапазона от 2500 кг до 5000 кг, допустимая погрешность составляет 2 кг.

Если весы показывают массу $M$, а допустимая погрешность для этого измерения равна $p$, то истинное значение массы $m$ находится в границах от $M-p$ до $M+p$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $M - p \le m \le M + p$.

а) Весы показывают 38 кг. Это значение попадает в диапазон от 10 до 100 кг, для которого погрешность $p = 0,1$ кг.
Нижняя граница: $38 - 0,1 = 37,9$ кг.
Верхняя граница: $38 + 0,1 = 38,1$ кг.
Таким образом, истинное значение массы $m$ находится в следующих границах.
Ответ: $37,9 \le m \le 38,1$.

б) Весы показывают 129 кг. Это значение попадает в диапазон от 100 до 1000 кг, для которого погрешность $p = 0,5$ кг.
Нижняя граница: $129 - 0,5 = 128,5$ кг.
Верхняя граница: $129 + 0,5 = 129,5$ кг.
Таким образом, истинное значение массы $m$ находится в следующих границах.
Ответ: $128,5 \le m \le 129,5$.

в) Весы показывают 2956 кг. Это значение попадает в диапазон от 2500 до 5000 кг, для которого погрешность $p = 2$ кг.
Нижняя граница: $2956 - 2 = 2954$ кг.
Верхняя граница: $2956 + 2 = 2958$ кг.
Таким образом, истинное значение массы $m$ находится в следующих границах.
Ответ: $2954 \le m \le 2958$.

г) Весы показывают 2543 кг. Это значение попадает в диапазон от 2500 до 5000 кг, для которого погрешность $p = 2$ кг.
Нижняя граница: $2543 - 2 = 2541$ кг.
Верхняя граница: $2543 + 2 = 2545$ кг.
Таким образом, истинное значение массы $m$ находится в следующих границах.
Ответ: $2541 \le m \le 2545$.

94 Рассмотрите таблицу 34. Предположим, что автомобильный спидометр исправен. Укажите с помощью двойного неравенства границы истинной скорости $v$ автомобиля, если спидометр показывает:

а) 28 км/ч;

б) 69 км/ч;

в) 96 км/ч;

г) 127 км/ч.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные из таблицы 34, которая не приведена в вопросе. Однако, можно предположить, что в таблице описаны стандартные допуски для автомобильных спидометров, согласно которым спидометр никогда не должен показывать скорость меньше истинной, но может ее завышать. Распространенные нормативы (например, правила ЕЭК ООН №39) устанавливают, что разница между показаниями спидометра ($v_с$) и истинной скоростью ($v$) должна находиться в пределах:

$0 \le v_с - v \le 0.1v + 4 \text{ км/ч}$

Это выражение можно представить в виде системы двух неравенств:

1) $v_с - v \ge 0 \implies v \le v_с$

2) $v_с - v \le 0.1v + 4$

Из второго неравенства выразим истинную скорость $v$:

$v_с - 4 \le 0.1v + v$

$v_с - 4 \le 1.1v$

$\frac{v_с - 4}{1.1} \le v$

Объединив полученные результаты, мы получаем двойное неравенство для определения границ истинной скорости $v$ на основе показаний спидометра $v_с$:

$\frac{v_с - 4}{1.1} \le v \le v_с$

Применим эту формулу для каждого из указанных значений.

а) Если спидометр показывает $v_с = 28$ км/ч:

Нижняя граница истинной скорости: $v_{min} = \frac{28 - 4}{1.1} = \frac{24}{1.1} = \frac{240}{11} = 21\frac{9}{11}$ км/ч.

Верхняя граница истинной скорости равна показаниям спидометра: $v_{max} = 28$ км/ч.

Двойное неравенство для истинной скорости $v$ имеет вид:

$21\frac{9}{11} \le v \le 28$.

Ответ: $21\frac{9}{11} \text{ км/ч} \le v \le 28 \text{ км/ч}$.

б) Если спидометр показывает $v_с = 69$ км/ч:

Нижняя граница истинной скорости: $v_{min} = \frac{69 - 4}{1.1} = \frac{65}{1.1} = \frac{650}{11} = 59\frac{1}{11}$ км/ч.

Верхняя граница истинной скорости: $v_{max} = 69$ км/ч.

Двойное неравенство для истинной скорости $v$ имеет вид:

$59\frac{1}{11} \le v \le 69$.

Ответ: $59\frac{1}{11} \text{ км/ч} \le v \le 69 \text{ км/ч}$.

в) Если спидометр показывает $v_с = 96$ км/ч:

Нижняя граница истинной скорости: $v_{min} = \frac{96 - 4}{1.1} = \frac{92}{1.1} = \frac{920}{11} = 83\frac{7}{11}$ км/ч.

Верхняя граница истинной скорости: $v_{max} = 96$ км/ч.

Двойное неравенство для истинной скорости $v$ имеет вид:

$83\frac{7}{11} \le v \le 96$.

Ответ: $83\frac{7}{11} \text{ км/ч} \le v \le 96 \text{ км/ч}$.

г) Если спидометр показывает $v_с = 127$ км/ч:

Нижняя граница истинной скорости: $v_{min} = \frac{127 - 4}{1.1} = \frac{123}{1.1} = \frac{1230}{11} = 111\frac{9}{11}$ км/ч.

Верхняя граница истинной скорости: $v_{max} = 127$ км/ч.

Двойное неравенство для истинной скорости $v$ имеет вид:

$111\frac{9}{11} \le v \le 127$.

Ответ: $111\frac{9}{11} \text{ км/ч} \le v \le 127 \text{ км/ч}$.

95 На мотке верёвки указано, что длина верёвки составляет $30 \text{ м} \pm 5\%$. В каких пределах может быть заключена истинная длина верёвки?

Условие "30 м ± 5%" означает, что истинная длина верёвки находится в диапазоне, который определяется номинальной длиной (30 м) и возможным отклонением (погрешностью) в 5% от этой длины.

1. Сначала вычислим абсолютную величину погрешности в метрах. Для этого найдём 5% от 30 метров.

Величина погрешности = $30 \text{ м} \times \frac{5}{100} = 30 \times 0.05 = 1.5 \text{ м}$.

Это означает, что фактическая длина верёвки может быть на 1.5 метра меньше или на 1.5 метра больше указанных 30 метров.

2. Теперь найдём минимальную и максимальную возможную длину верёвки.

Минимальная длина (нижняя граница) вычисляется вычитанием погрешности из номинальной длины:
$L_{мин} = 30 \text{ м} - 1.5 \text{ м} = 28.5 \text{ м}$.

Максимальная длина (верхняя граница) вычисляется прибавлением погрешности к номинальной длине:
$L_{макс} = 30 \text{ м} + 1.5 \text{ м} = 31.5 \text{ м}$.

Следовательно, истинная длина верёвки ($L$) заключена в пределах от 28.5 м до 31.5 м, что можно записать в виде двойного неравенства: $28.5 \le L \le 31.5$.

Ответ: истинная длина верёвки может быть заключена в пределах от 28,5 м до 31,5 м.

147 Саша, Ваня и Петя получили номера 1, 2 и 3 для участия в соревнованиях. Перечертите таблицу 3 в тетрадь и запишите все возможные способы распределения этих номеров между участниками.

Таблица 3

1 -й способ 2-й способ 3-й способ 4-й способ 5-й способ 6-й способ

Саша

Ваня

Петя

В данной задаче нам нужно найти все возможные способы распределения трех номеров (1, 2, 3) между тремя участниками соревнований (Саша, Ваня, Петя). Каждый участник должен получить уникальный номер. Эта задача является классическим примером нахождения числа перестановок.

Число всех возможных способов (перестановок) для $n$ различных элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "эн факториал"). В нашем случае количество участников и номеров равно трем, то есть $n=3$.

Следовательно, общее количество способов распределения номеров составляет:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.

Чтобы заполнить таблицу, мы должны найти все эти 6 уникальных комбинаций. Проще всего это сделать, поочередно закрепляя номер за одним из участников, например, за Сашей, и перебирая оставшиеся варианты для других.

1. Саша получает номер 1.
В этом случае Ваня и Петя могут получить номера 2 и 3. Это дает нам два способа:
- 1-й способ: Саша - 1, Ваня - 2, Петя - 3.
- 2-й способ: Саша - 1, Ваня - 3, Петя - 2.

2. Саша получает номер 2.
В этом случае Ваня и Петя могут получить номера 1 и 3. Это дает еще два способа:
- 3-й способ: Саша - 2, Ваня - 1, Петя - 3.
- 4-й способ: Саша - 2, Ваня - 3, Петя - 1.

3. Саша получает номер 3.
В этом случае Ваня и Петя могут получить номера 1 и 2. Это последние два способа:
- 5-й способ: Саша - 3, Ваня - 1, Петя - 2.
- 6-й способ: Саша - 3, Ваня - 2, Петя - 1.

Теперь, когда мы нашли все 6 возможных комбинаций, мы можем заполнить таблицу.

Ответ: Заполненная таблица со всеми 6 возможными способами распределения номеров приведена выше.

1 Что такое перестановка?

В комбинаторике перестановкой из $n$ элементов называется любое упорядоченное множество (или последовательность), составленное из всех этих $n$ элементов. Ключевой особенностью перестановки является то, что важен порядок следования элементов. Два упорядоченных набора, отличающиеся только порядком элементов, считаются разными перестановками.

Например, рассмотрим множество из трех элементов: {1, 2, 3}. Мы можем расположить эти элементы в разном порядке. Каждое такое расположение будет являться отдельной перестановкой.

Все возможные перестановки для множества {1, 2, 3} следующие: (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2); (3, 2, 1).

Как видно из примера, всего существует 6 различных перестановок для трех элементов.

Число всех возможных перестановок из $n$ различных элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле факториала:

$P_n = n!$

где $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Применяя эту формулу к нашему примеру с тремя элементами, получаем:

$P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

Это совпадает с количеством перестановок, которые мы перечислили вручную.

Ответ: Перестановка — это комбинация, представляющая собой упорядоченный набор всех элементов заданного множества. Число всех перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

2 Что такое факториал натурального числа?

Факториал натурального числа — это произведение (результат умножения) всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно. Факториал числа $n$ обозначается как $n!$ (читается «эн факториал»).

Математически это можно записать следующей формулой:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Или с использованием знака произведения (пи):

$n! = \prod_{k=1}^{n} k$

По особому соглашению, факториал нуля принимается равным единице:

$0! = 1$

Это соглашение необходимо для многих математических формул, особенно в комбинаторике, а также для того, чтобы работало рекуррентное соотношение (см. ниже) при $n=1$.

Примеры вычисления факториала:

• $1! = 1$
• $2! = 1 \cdot 2 = 2$
• $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
• $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
• $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Факториалы обладают важным рекуррентным свойством, которое позволяет выразить факториал большего числа через факториал меньшего:

$n! = n \cdot (n-1)!$

Например, $5! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 24 = 120$.

Основное применение факториала — в комбинаторике, разделе математики, который изучает комбинации и перестановки. Например, количество способов, которыми можно расположить (переставить) $n$ различных предметов в ряд, равно $n!$.

Ответ: Факториал натурального числа $n$ (обозначается $n!$) — это результат умножения всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. По определению, факториал нуля также определён и равен $1$ ($0! = 1$).

3 Чему равно число различных перестановок из $n$ предметов?

Число различных перестановок из $n$ предметов — это количество способов, которыми можно упорядочить эти $n$ различных предметов. Каждая перестановка представляет собой один из возможных порядков расположения этих предметов.

Чтобы найти это число, воспользуемся логикой последовательного выбора. Представим, что у нас есть $n$ пустых позиций, которые нужно заполнить $n$ предметами.

На первую позицию мы можем поместить любой из $n$ предметов, следовательно, у нас есть $n$ вариантов выбора.
После того как первая позиция занята, у нас остаётся $n-1$ предмет. На вторую позицию мы можем выбрать любой из этих $n-1$ предметов, что дает нам $n-1$ вариант.
Для третьей позиции останется $n-2$ предмета и, соответственно, $n-2$ варианта выбора.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока все предметы не будут расставлены. Для предпоследней позиции у нас будет 2 варианта, а для последней останется только 1 вариант.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее число всех возможных перестановок ($P_n$) равно произведению числа вариантов на каждом шаге:$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$.

Пример: Для $n=3$ предметов (например, А, Б, В), число перестановок равно $P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Возможные перестановки: (АБВ), (АВБ), (БАВ), (БВА), (ВАБ), (ВБА).

Ответ: $n!$ (n-факториал).

4 Чему равен факториал нуля?

Факториал нуля, обозначаемый как $0!$, по определению равен 1. Это может показаться нелогичным, так как факториал натурального числа $n$ ($n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Однако значение $0!=1$ является математически обоснованным и необходимым для сохранения свойств многих формул.

Существует несколько объяснений этому факту:

1. Комбинаторное объяснение. Факториал $n!$ представляет собой количество способов, которыми можно упорядочить (переставить) $n$ различных объектов. Например, 3 объекта можно переставить $3! = 6$ способами. Если же мы рассматриваем 0 объектов (пустое множество), существует ровно один способ их "упорядочить" — ничего не делать. Следовательно, количество перестановок для нуля объектов равно 1. В математике это также известно как "пустое произведение", которое по соглашению равно мультипликативной единице, то есть 1.

2. Объяснение через рекуррентное соотношение. Для любого положительного целого числа $n$ факториал можно определить через рекуррентное соотношение: $n! = n \times (n-1)!$. Чтобы это соотношение оставалось верным и для $n=1$, мы можем выразить $(n-1)!$ через $n!$:

$(n-1)! = \frac{n!}{n}$

Подставим в эту формулу $n=1$:

$(1-1)! = \frac{1!}{1}$

$0! = \frac{1}{1}$

$0! = 1$

Таким образом, принятие $0!=1$ позволяет расширить определение факториала на все неотрицательные целые числа, сохраняя его ключевые свойства.

Ответ: 1