Страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

74 Дан числовой набор $X$, состоящий из чисел 17, 3, 6, 21, 15.

а) Чему равно $x_2$ в этом наборе?

б) Чему равно $x_5$?

а) В заданном числовом наборе X = {17, 3, 6, 21, 15} обозначение $x_n$ указывает на элемент, стоящий на n-ом месте. В данном случае, $x_1 = 17$, а вторым элементом является $x_2 = 3$.

Ответ: 3

б) Аналогично предыдущему пункту, необходимо найти пятый элемент набора. Пронумеруем все элементы: $x_1 = 17$, $x_2 = 3$, $x_3 = 6$, $x_4 = 21$, $x_5 = 15$. Таким образом, пятый элемент набора $x_5$ равен 15.

Ответ: 15

75 Среднее арифметическое числового набора X равняется 5. Найдите среднее арифметическое числового набора, который получится, если:

а) ко всем числам набора X прибавить число 4;

б) из всех чисел набора X вычесть число 12;

в) ко всем числам набора X прибавить число 8;

г) из всех чисел набора X вычесть число 3.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством среднего арифметического. Если ко всем числам набора прибавить (или вычесть) одно и то же число $c$, то среднее арифметическое этого набора также увеличится (или уменьшится) на это число $c$. Исходное среднее арифметическое равно 5.

Давайте докажем это свойство и применим его к каждому пункту.Пусть исходный числовой набор X состоит из $n$ чисел: $x_1, x_2, \dots, x_n$.Среднее арифметическое этого набора $M_X$ вычисляется по формуле:$M_X = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$По условию, $M_X = 5$. Следовательно, сумма всех чисел набора $S_X = x_1 + x_2 + \dots + x_n = 5n$.

а) ко всем числам набора X прибавить число 4;
Получим новый набор чисел: $(x_1 + 4), (x_2 + 4), \dots, (x_n + 4)$.Сумма нового набора $S_a$ будет равна:$S_a = (x_1 + 4) + (x_2 + 4) + \dots + (x_n + 4) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) + 4n$Подставим значение суммы исходного набора $S_X = 5n$:$S_a = 5n + 4n = 9n$Новое среднее арифметическое $M_a$ равно:$M_a = \frac{S_a}{n} = \frac{9n}{n} = 9$Таким образом, новое среднее арифметическое равно исходному, увеличенному на 4: $5 + 4 = 9$.
Ответ: 9

б) из всех чисел набора X вычесть число 12;
Получим новый набор чисел: $(x_1 - 12), (x_2 - 12), \dots, (x_n - 12)$.Сумма нового набора $S_б$ будет равна:$S_б = (x_1 - 12) + (x_2 - 12) + \dots + (x_n - 12) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) - 12n$Подставим значение суммы исходного набора $S_X = 5n$:$S_б = 5n - 12n = -7n$Новое среднее арифметическое $M_б$ равно:$M_б = \frac{S_б}{n} = \frac{-7n}{n} = -7$Таким образом, новое среднее арифметическое равно исходному, уменьшенному на 12: $5 - 12 = -7$.
Ответ: -7

в) ко всем числам набора X прибавить число 8;
Получим новый набор чисел: $(x_1 + 8), (x_2 + 8), \dots, (x_n + 8)$.Сумма нового набора $S_в$ будет равна:$S_в = (x_1 + 8) + (x_2 + 8) + \dots + (x_n + 8) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) + 8n$Подставим значение суммы исходного набора $S_X = 5n$:$S_в = 5n + 8n = 13n$Новое среднее арифметическое $M_в$ равно:$M_в = \frac{S_в}{n} = \frac{13n}{n} = 13$Таким образом, новое среднее арифметическое равно исходному, увеличенному на 8: $5 + 8 = 13$.
Ответ: 13

г) из всех чисел набора X вычесть число 3.
Получим новый набор чисел: $(x_1 - 3), (x_2 - 3), \dots, (x_n - 3)$.Сумма нового набора $S_г$ будет равна:$S_г = (x_1 - 3) + (x_2 - 3) + \dots + (x_n - 3) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) - 3n$Подставим значение суммы исходного набора $S_X = 5n$:$S_г = 5n - 3n = 2n$Новое среднее арифметическое $M_г$ равно:$M_г = \frac{S_г}{n} = \frac{2n}{n} = 2$Таким образом, новое среднее арифметическое равно исходному, уменьшенному на 3: $5 - 3 = 2$.
Ответ: 2

76 Среднее арифметическое числового набора $Y$ равняется 8. Найдите среднее арифметическое числового набора, который получится, если все числа набора $Y$:

а) умножить на число 2;

б) разделить на 4;

в) умножить на -3;

г) разделить на -3.

Это задача на свойство среднего арифметического. Если все числа некоторого набора умножить (или разделить) на одно и то же число, то и среднее арифметическое этого набора изменится соответствующим образом (умножится или разделится на это же число).

Докажем это и решим задачу.

Пусть числовой набор Y состоит из $n$ чисел: $y_1, y_2, \ldots, y_n$.

Среднее арифметическое этого набора, которое мы обозначим как $\bar{y}$, вычисляется по формуле:

$\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}$

По условию задачи, среднее арифметическое набора Y равняется 8, то есть $\bar{y} = 8$.

$\frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} = 8$

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) умножить на число 2;

Если каждое число набора Y умножить на 2, мы получим новый набор: $2y_1, 2y_2, \ldots, 2y_n$.

Найдем среднее арифметическое нового набора, обозначим его $\bar{y}_{new}$:

$\bar{y}_{new} = \frac{2y_1 + 2y_2 + \ldots + 2y_n}{n} = \frac{2(y_1 + y_2 + \ldots + y_n)}{n}$

Мы знаем, что $\frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}$ это исходное среднее арифметическое, равное 8. Поэтому:

$\bar{y}_{new} = 2 \times 8 = 16$

Ответ: 16.

б) разделить на 4;

Если каждое число набора Y разделить на 4, мы получим новый набор: $\frac{y_1}{4}, \frac{y_2}{4}, \ldots, \frac{y_n}{4}$.

Найдем среднее арифметическое нового набора:

$\bar{y}_{new} = \frac{\frac{y_1}{4} + \frac{y_2}{4} + \ldots + \frac{y_n}{4}}{n} = \frac{\frac{1}{4}(y_1 + y_2 + \ldots + y_n)}{n} = \frac{1}{4} \times \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}$

Подставив известное значение среднего арифметического:

$\bar{y}_{new} = \frac{1}{4} \times 8 = 2$

Ответ: 2.

в) умножить на –3;

Если каждое число набора Y умножить на –3, мы получим новый набор: $-3y_1, -3y_2, \ldots, -3y_n$.

Найдем среднее арифметическое нового набора:

$\bar{y}_{new} = \frac{-3y_1 - 3y_2 - \ldots - 3y_n}{n} = \frac{-3(y_1 + y_2 + \ldots + y_n)}{n}$

Подставив известное значение среднего арифметического:

$\bar{y}_{new} = -3 \times 8 = -24$

Ответ: –24.

г) разделить на –3.

Если каждое число набора Y разделить на –3, мы получим новый набор: $\frac{y_1}{-3}, \frac{y_2}{-3}, \ldots, \frac{y_n}{-3}$.

Найдем среднее арифметическое нового набора:

$\bar{y}_{new} = \frac{\frac{y_1}{-3} + \frac{y_2}{-3} + \ldots + \frac{y_n}{-3}}{n} = \frac{-\frac{1}{3}(y_1 + y_2 + \ldots + y_n)}{n} = -\frac{1}{3} \times \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}$

Подставив известное значение среднего арифметического:

$\bar{y}_{new} = -\frac{1}{3} \times 8 = -\frac{8}{3}$

Ответ: $-\frac{8}{3}$.

77 Сначала ко всем числам числового набора $X$ прибавили число 8, а затем все полученные числа умножили на 3. Найдите среднее арифметическое получившегося набора, если среднее арифметическое набора $X$ равно:

a) 2;

б) -4;

в) 5,2;

г) -9,1.

Пусть исходный числовой набор X состоит из n чисел: $x_1, x_2, ..., x_n$. Его среднее арифметическое равно $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$.

Первый шаг: ко всем числам набора прибавили число 8. Получился новый набор чисел: $x_1+8, x_2+8, ..., x_n+8$. Найдем среднее арифметическое этого нового набора:

$\bar{x}_{new1} = \frac{(x_1+8) + (x_2+8) + ... + (x_n+8)}{n} = \frac{(x_1 + x_2 + ... + x_n) + (8 \cdot n)}{n} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} + \frac{8n}{n} = \bar{x} + 8$.

Таким образом, после прибавления 8 к каждому числу, среднее арифметическое набора также увеличилось на 8.

Второй шаг: все полученные числа умножили на 3. Получился итоговый набор: $3(x_1+8), 3(x_2+8), ..., 3(x_n+8)$. Найдем его среднее арифметическое:

$\bar{x}_{final} = \frac{3(x_1+8) + 3(x_2+8) + ... + 3(x_n+8)}{n} = \frac{3 \cdot ((x_1+8) + (x_2+8) + ... + (x_n+8))}{n} = 3 \cdot \bar{x}_{new1} = 3(\bar{x} + 8)$.

Итак, для нахождения среднего арифметического получившегося набора нужно взять среднее арифметическое исходного набора, прибавить к нему 8 и результат умножить на 3. Теперь применим эту формулу для каждого случая.

а)

Если среднее арифметическое набора X равно 2, то среднее арифметическое получившегося набора равно:

$(2 + 8) \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30$.

Ответ: 30.

б)

Если среднее арифметическое набора X равно -4, то среднее арифметическое получившегося набора равно:

$(-4 + 8) \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.

в)

Если среднее арифметическое набора X равно 5,2, то среднее арифметическое получившегося набора равно:

$(5,2 + 8) \cdot 3 = 13,2 \cdot 3 = 39,6$.

Ответ: 39,6.

г)

Если среднее арифметическое набора X равно -9,1, то среднее арифметическое получившегося набора равно:

$(-9,1 + 8) \cdot 3 = -1,1 \cdot 3 = -3,3$.

Ответ: -3,3.

78 Сначала все числа числового набора $X$ умножили на 3, а затем к каждому полученному числу прибавили 8. Найдите среднее арифметическое получившегося набора, если среднее арифметическое набора $X$ равно:

а) 2;

б) -4;

в) 5,2;

г) -9,1.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами среднего арифметического. Пусть исходный числовой набор X состоит из $n$ чисел: $x_1, x_2, \dots, x_n$. Его среднее арифметическое, обозначим его $\bar{x}$, равно:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Когда мы умножаем каждое число набора на 3, среднее арифметическое нового набора также умножается на 3.
Новый набор: $3x_1, 3x_2, \dots, 3x_n$.
Новое среднее: $\frac{3x_1 + 3x_2 + \dots + 3x_n}{n} = \frac{3(x_1 + x_2 + \dots + x_n)}{n} = 3\bar{x}$.

Когда мы прибавляем к каждому числу набора 8, среднее арифметическое нового набора также увеличивается на 8.
Итоговый набор: $3x_1+8, 3x_2+8, \dots, 3x_n+8$.
Итоговое среднее: $\frac{(3x_1+8) + (3x_2+8) + \dots + (3x_n+8)}{n} = \frac{3(x_1 + \dots + x_n) + n \cdot 8}{n} = 3\bar{x} + 8$.

Таким образом, чтобы найти среднее арифметическое получившегося набора, нужно исходное среднее арифметическое $\bar{x}$ умножить на 3 и прибавить 8.

а)
Если среднее арифметическое набора X равно 2, то среднее арифметическое нового набора равно:
$3 \cdot 2 + 8 = 6 + 8 = 14$.
Ответ: 14.

б)
Если среднее арифметическое набора X равно -4, то среднее арифметическое нового набора равно:
$3 \cdot (-4) + 8 = -12 + 8 = -4$.
Ответ: -4.

в)
Если среднее арифметическое набора X равно 5,2, то среднее арифметическое нового набора равно:
$3 \cdot 5,2 + 8 = 15,6 + 8 = 23,6$.
Ответ: 23,6.

г)
Если среднее арифметическое набора X равно -9,1, то среднее арифметическое нового набора равно:
$3 \cdot (-9,1) + 8 = -27,3 + 8 = -19,3$.
Ответ: -19,3.

79 Средняя цена нефти на протяжении месяца составляла 65 долл. за один баррель (мера объёма, равная 158,9873 л.). Найдите среднюю цену одного литра нефти за этот период, считая, что в одном барреле 159 л.

Согласно условию задачи, средняя цена одного барреля нефти составляет $65$ долларов. Для расчетов необходимо использовать значение, что один баррель равен $159$ литрам. Информация о том, что точная мера объема барреля составляет $158,9873$ л, в данном случае является справочной и не используется, так как в условии дано прямое указание на объем в $159$ л.

Чтобы найти среднюю цену одного литра нефти, следует разделить среднюю цену одного барреля на количество литров, содержащихся в нем.

Формула для расчета цены одного литра:
Цена за 1 литр = $\frac{\text{Цена за 1 баррель}}{\text{Количество литров в 1 барреле}}$

Подставим в формулу числовые значения из условия:
Цена за 1 литр = $\frac{65 \text{ долл.}}{159 \text{ л}}$

Теперь выполним деление:
$65 \div 159 \approx 0.40880503...$ долл. за литр.

Для удобства и в соответствии с общепринятой практикой для денежных расчетов, округлим полученный результат до сотых долей (до центов).
$0.40880503... \approx 0.41$ долл.

Ответ: средняя цена одного литра нефти за этот период составляет приблизительно $0.41$ долл.

80 Средняя зарплата на предприятии составляла 56 000 р. С нового года зарплату всем сотрудникам проиндексировали (повысили) на 4%. Других изменений не было. Найдите среднюю зарплату после индексации.

Чтобы найти новую среднюю зарплату после индексации, необходимо увеличить исходную среднюю зарплату на 4%. Это связано с тем, что если зарплату каждого сотрудника увеличить на один и тот же процент, то и средняя зарплата по всему предприятию увеличится на этот же процент.

Исходная средняя зарплата составляет 56 000 рублей. Повышение на 4% означает, что новая зарплата составит 104% от старой.

Для расчета можно использовать два способа:

Способ 1: Умножение на коэффициент.
Увеличение на 4% эквивалентно умножению на коэффициент 1.04. $S_{новая} = S_{старая} \times (1 + \frac{процент}{100})$
$S_{новая} = 56000 \times (1 + \frac{4}{100}) = 56000 \times 1.04 = 58240$ рублей.

Способ 2: Пошаговое вычисление.
1. Сначала найдем, на сколько рублей увеличится средняя зарплата. Для этого вычислим 4% от 56 000 рублей.
$56000 \times \frac{4}{100} = 560 \times 4 = 2240$ рублей.

2. Затем прибавим полученную сумму к исходной средней зарплате.
$56000 + 2240 = 58240$ рублей.

Таким образом, средняя зарплата на предприятии после индексации составит 58 240 рублей.

Ответ: 58240 рублей.

81 В наборе n чисел. На сколько увеличится среднее арифметическое этого набора, если одно число в этом наборе увеличить на 1?

Пусть исходный набор состоит из $n$ чисел: $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Сумма этих чисел равна $S = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$.

Тогда первоначальное среднее арифметическое этого набора равно $M_{1} = \frac{S}{n}$.

Теперь увеличим одно из чисел этого набора (например, $a_k$) на 1. Новое значение этого числа станет $a_k + 1$.

Новая сумма чисел в наборе будет $S_{new} = a_1 + a_2 + \dots + (a_k+1) + \dots + a_n = (a_1 + a_2 + \dots + a_n) + 1 = S + 1$.

Новое среднее арифметическое будет равно $M_{2} = \frac{S_{new}}{n} = \frac{S+1}{n}$.

Чтобы найти, на сколько увеличится среднее арифметическое, нужно найти разность между новым и старым средним арифметическим:

$\Delta M = M_2 - M_1 = \frac{S+1}{n} - \frac{S}{n} = \frac{(S+1) - S}{n} = \frac{1}{n}$.

Таким образом, среднее арифметическое набора увеличится на $\frac{1}{n}$.

Ответ: $\frac{1}{n}$

82 В наборе было 100 чисел, а сумма всех чисел равнялась 134. К набору добавили ещё одно число, при этом среднее арифметическое не изменилось. Какое число добавили?

Для решения этой задачи необходимо найти среднее арифметическое исходного набора чисел. Среднее арифметическое ($M$) вычисляется как отношение суммы всех чисел ($S$) к их количеству ($n$).

Формула для среднего арифметического:

$M = \frac{S}{n}$

По условию задачи, в исходном наборе было:

• Количество чисел, $n_1 = 100$.
• Сумма всех чисел, $S_1 = 134$.

Найдем среднее арифметическое ($M_1$) этого набора:

$M_1 = \frac{S_1}{n_1} = \frac{134}{100} = 1.34$

Затем к набору добавили еще одно число. Обозначим это число как $x$.

После добавления нового числа параметры набора изменились:

• Количество чисел стало $n_2 = 100 + 1 = 101$.
• Сумма всех чисел стала $S_2 = 134 + x$.

По условию, среднее арифметическое нового набора ($M_2$) не изменилось, то есть $M_2 = M_1 = 1.34$.

Составим уравнение для нового среднего арифметического:

$M_2 = \frac{S_2}{n_2} = \frac{134 + x}{101}$

Так как $M_2 = 1.34$, получаем уравнение:

$\frac{134 + x}{101} = 1.34$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$134 + x = 1.34 \times 101$

$134 + x = 135.34$

$x = 135.34 - 134$

$x = 1.34$

Можно также отметить, что если при добавлении нового элемента в совокупность ее среднее арифметическое не меняется, то значение этого элемента должно быть равно среднему арифметическому исходной совокупности.

Ответ: 1,34

83 Каждое число набора увеличили на одно и то же число $a$. Как изменились наименьшее и наибольшее значения набора?

Пусть исходный набор чисел — это $S = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.

Обозначим наименьшее значение (минимум) этого набора как $x_{min}$, а наибольшее значение (максимум) — как $x_{max}$. Для любого числа $x_i$ из исходного набора справедливо двойное неравенство: $x_{min} \le x_i \le x_{max}$.

По условию задачи, каждое число набора увеличили на одно и то же число $a$. В результате мы получили новый набор чисел $S' = \{x_1+a, x_2+a, \dots, x_n+a\}$.

Чтобы понять, как изменились наименьшее и наибольшее значения, воспользуемся свойством неравенств. Если ко всем частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Прибавим число $a$ к каждой части нашего двойного неравенства: $x_{min} + a \le x_i + a \le x_{max} + a$.

Это новое неравенство показывает, что:

• Любой элемент нового набора $x_i + a$ не меньше, чем $x_{min} + a$. Следовательно, $x_{min} + a$ является новым наименьшим значением набора.
• Любой элемент нового набора $x_i + a$ не больше, чем $x_{max} + a$. Следовательно, $x_{max} + a$ является новым наибольшим значением набора.

Таким образом, и наименьшее, и наибольшее значения исходного набора увеличились на $a$.

Ответ: Наименьшее и наибольшее значения набора увеличились на $a$.

84 Наименьшее значение набора равно $m$, наибольшее значение равно $M$. Каждое число набора умножили на одно и то же число $b$. Найдите наименьшее и наибольшее значения получившегося набора, если:

a) $b > 0$;

б) $b < 0$.

Пусть исходный набор чисел — это $S$. По условию, наименьшее значение в наборе равно $m$, а наибольшее равно $M$. Это означает, что для любого числа $x$ из этого набора справедливо неравенство: $m \le x \le M$.

Каждое число набора умножают на число $b$. Получается новый набор чисел, в котором каждый элемент имеет вид $b \cdot x$. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения в этом новом наборе. Рассмотрим два случая.

а) $b > 0$
Если мы умножаем все части неравенства $m \le x \le M$ на положительное число $b$, знаки неравенства сохраняются: $b \cdot m \le b \cdot x \le b \cdot M$ Следовательно, наименьшее значение в новом наборе будет $bm$, а наибольшее — $bM$.
Ответ: наименьшее значение равно $bm$, наибольшее значение равно $bM$.

б) $b < 0$
Если мы умножаем все части неравенства $m \le x \le M$ на отрицательное число $b$, знаки неравенства меняются на противоположные: $b \cdot m \ge b \cdot x \ge b \cdot M$ Это неравенство можно переписать в привычном виде, поменяв местами левую и правую части: $bM \le bx \le bm$ Следовательно, наименьшее значение в новом наборе будет $bM$ (произведение исходного наибольшего на отрицательное число), а наибольшее — $bm$ (произведение исходного наименьшего на отрицательное число).
Ответ: наименьшее значение равно $bM$, наибольшее значение равно $bm$.

85 В наборе было $n$ чисел, их среднее арифметическое равнялось $\bar{x}$. К набору добавили число $a$. Запишите выражение для среднего арифметического получившегося набора.

Среднее арифметическое - это отношение суммы всех чисел в наборе к их количеству.

Изначально у нас есть набор из $n$ чисел, и их среднее арифметическое равно $\bar{x}$. Обозначим сумму этих $n$ чисел как $S_n$.

По определению среднего арифметического:
$\bar{x} = \frac{S_n}{n}$

Отсюда мы можем выразить сумму исходных $n$ чисел:
$S_n = n \cdot \bar{x}$

Затем к набору добавили число $a$. Теперь в наборе стало $n + 1$ число.

Сумма чисел в новом наборе, $S_{new}$, будет равна сумме исходных чисел плюс новое число $a$:
$S_{new} = S_n + a = n \cdot \bar{x} + a$

Среднее арифметическое нового набора, $\bar{x}_{new}$, равно новой сумме, деленной на новое количество чисел:
$\bar{x}_{new} = \frac{S_{new}}{n+1}$

Подставим в эту формулу выражение для $S_{new}$:
$\bar{x}_{new} = \frac{n \cdot \bar{x} + a}{n+1}$

Ответ: $\frac{n \bar{x} + a}{n+1}$

86 Студент в течение семестра выполнил несколько контрольных работ. Когда он узнал результаты всех работ, кроме последней, он заметил, что если за последнюю контрольную работу он получит 90 баллов, то средний балл за все работы будет равен 84, а если за последнюю работу он получит 72 балла, то средний балл за все работы составит 81. Сколько всего контрольных работ должен выполнить студент?

Пусть $n$ — это общее количество контрольных работ, которые должен выполнить студент, а $S$ — это сумма баллов за первые $n-1$ работ (то есть за все, кроме последней).

Средний балл вычисляется как частное от деления общей суммы баллов на количество работ.

Из условия задачи можно составить два уравнения.

1. Если за последнюю работу студент получит 90 баллов, то средний балл за все $n$ работ будет равен 84. Общая сумма баллов в этом случае составит $S + 90$. Уравнение будет выглядеть так:
$\frac{S + 90}{n} = 84$

2. Если за последнюю работу он получит 72 балла, то средний балл за все $n$ работ составит 81. Общая сумма баллов будет $S + 72$. Уравнение для этого случая:
$\frac{S + 72}{n} = 81$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $S$ и $n$:
$\begin{cases} S + 90 = 84n \\ S + 72 = 81n \end{cases}$

Выразим $S$ из каждого уравнения:

Из первого уравнения: $S = 84n - 90$.

Из второго уравнения: $S = 81n - 72$.

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($S$), мы можем приравнять их правые части:

$84n - 90 = 81n - 72$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $n$. Перенесем все члены с $n$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$84n - 81n = 90 - 72$

$3n = 18$

Разделим обе части уравнения на 3:

$n = \frac{18}{3}$

$n = 6$

Таким образом, общее количество контрольных работ, которые должен выполнить студент, равно 6.

Ответ: 6.

127 События $U$ и $V$ независимы. Найдите вероятность события $U \cap V$, если:

а) $P(U) = 0.4$, $P(V) = 0.6$;

б) $P(U) = 0.1$, $P(V) = 0.8$.

а)

По условию, события $U$ и $V$ являются независимыми. Вероятность пересечения (одновременного наступления) двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Формула для нахождения вероятности пересечения независимых событий: $P(U \cap V) = P(U) \cdot P(V)$

Подставим в формулу заданные значения вероятностей $P(U) = 0,4$ и $P(V) = 0,6$:

$P(U \cap V) = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24$

Ответ: $0,24$

б)

Аналогично предыдущему пункту, для нахождения вероятности пересечения независимых событий $U$ и $V$ используем ту же формулу.

$P(U \cap V) = P(U) \cdot P(V)$

Подставим в формулу заданные значения вероятностей $P(U) = 0,1$ и $P(V) = 0,8$:

$P(U \cap V) = 0,1 \cdot 0,8 = 0,08$

Ответ: $0,08$

128 События $K$ и $L$ независимы. Найдите вероятность события $K$, если:

а) $P(L) = 0,8$, $P(K \cap L) = 0,48$;

б) $P(L) = 0,2$, $P(K \cap L) = 0,08$.

По определению, два события $K$ и $L$ называются независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их индивидуальных вероятностей. Это выражается формулой:

$P(K \cap L) = P(K) \cdot P(L)$

Чтобы найти вероятность события $K$, мы можем преобразовать эту формулу:

$P(K) = \frac{P(K \cap L)}{P(L)}$

Теперь воспользуемся этой формулой для решения каждого из подпунктов.

а)

Дано: $P(L) = 0,8$ и $P(K \cap L) = 0,48$.

Подставляем известные значения в выведенную формулу:

$P(K) = \frac{0,48}{0,8}$

Выполняем деление:

$P(K) = 0,6$

Ответ: 0,6.

б)

Дано: $P(L) = 0,2$ и $P(K \cap L) = 0,08$.

Подставляем известные значения в формулу:

$P(K) = \frac{0,08}{0,2}$

Выполняем деление:

$P(K) = 0,4$

Ответ: 0,4.

129 События $U$, $V$ и $W$ независимы. Найдите вероятность события $U \cap V \cap W$, если:

a) $P(U) = 0,4$, $P(V) = 0,6$, $P(W) = 0,5$;

б) $P(U) = 0,4$, $P(V) = 0,3$, $P(W) = 0,1$.

Поскольку события $U$, $V$ и $W$ независимы, вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей. Формула для вычисления вероятности пересечения независимых событий выглядит следующим образом:

$P(U \cap V \cap W) = P(U) \cdot P(V) \cdot P(W)$

а)

Даны вероятности:

$P(U) = 0,4$

$P(V) = 0,6$

$P(W) = 0,5$

Подставим эти значения в формулу:

$P(U \cap V \cap W) = 0,4 \cdot 0,6 \cdot 0,5 = 0,24 \cdot 0,5 = 0,12$

Ответ: $0,12$.

б)

Даны вероятности:

$P(U) = 0,4$

$P(V) = 0,3$

$P(W) = 0,1$

Подставим эти значения в формулу:

$P(U \cap V \cap W) = 0,4 \cdot 0,3 \cdot 0,1 = 0,12 \cdot 0,1 = 0,012$

Ответ: $0,012$.

130 События K, L и M независимы. Найдите вероятность события K, если:

a) $P(L) = 0,8$, $P(M) = 0,6$, $P(K \cap L \cap M) = 0,096$;

б) $P(L \cap M) = 0,1$, $P(K \cap L \cap M) = 0,06$.

а) Поскольку события $K$, $L$ и $M$ независимы, вероятность их совместного наступления (пересечения) вычисляется как произведение их вероятностей. Формула для трех независимых событий:
$P(K \cap L \cap M) = P(K) \cdot P(L) \cdot P(M)$
По условию задачи известны следующие вероятности: $P(L) = 0,8$, $P(M) = 0,6$ и $P(K \cap L \cap M) = 0,096$. Подставим эти значения в формулу:
$0,096 = P(K) \cdot 0,8 \cdot 0,6$
Вычислим произведение известных вероятностей:
$0,8 \cdot 0,6 = 0,48$
Теперь уравнение выглядит так:
$0,096 = P(K) \cdot 0,48$
Чтобы найти искомую вероятность $P(K)$, разделим известную вероятность пересечения на произведение вероятностей $P(L)$ и $P(M)$:
$P(K) = \frac{0,096}{0,48} = 0,2$
Ответ: $P(K) = 0,2$.

б) В этом пункте также используется свойство независимости событий. Если события $K$, $L$ и $M$ независимы, то событие $K$ и совместное событие $(L \cap M)$ также являются независимыми. Вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
$P(K \cap (L \cap M)) = P(K) \cdot P(L \cap M)$
Поскольку $K \cap (L \cap M)$ это то же самое, что и $K \cap L \cap M$, мы можем записать:
$P(K \cap L \cap M) = P(K) \cdot P(L \cap M)$
Нам даны значения: $P(L \cap M) = 0,1$ и $P(K \cap L \cap M) = 0,06$. Подставим их в формулу:
$0,06 = P(K) \cdot 0,1$
Выразим отсюда вероятность $P(K)$:
$P(K) = \frac{0,06}{0,1} = 0,6$
Ответ: $P(K) = 0,6$.

131 Монету бросают 2 раза. Являются ли независимыми события:

a) А «в первый раз выпадает орёл» и В «во второй раз выпадает решка»;

б) А «при первом броске выпадает орёл» и В «орёл выпадает хотя бы один раз»?

Для определения независимости двух событий A и B необходимо проверить выполнение равенства: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, где $P(A)$ – вероятность события A, $P(B)$ – вероятность события B, а $P(A \cap B)$ – вероятность их одновременного наступления.

При двукратном броске монеты существует 4 равновероятных элементарных исхода: Орёл-Орёл (ОО), Орёл-Решка (ОР), Решка-Орёл (РО), Решка-Решка (РР).

а) A «в первый раз выпадет орёл» и B «во второй раз выпадет решка»

1. Найдём вероятность события A. Событию A благоприятствуют два исхода: {ОО, ОР}. Таким образом, $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

2. Найдём вероятность события B. Событию B благоприятствуют два исхода: {ОР, РР}. Таким образом, $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. Найдём вероятность совместного наступления событий A и B, то есть $A \cap B$ (в первый раз орёл и во второй решка). Этому событию благоприятствует только один исход: {ОР}. Таким образом, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.

4. Проверим условие независимости: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Так как $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ( $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ), события A и B являются независимыми.

Ответ: события являются независимыми.

б) A «при первом броске выпадет орёл» и B «орёл выпадет хотя бы один раз»

1. Вероятность события A (при первом броске орёл) нам уже известна из предыдущего пункта. Исходы: {ОО, ОР}. $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

2. Найдём вероятность события B (орёл выпадет хотя бы один раз). Этому событию благоприятствуют три исхода: {ОО, ОР, РО}. Таким образом, $P(B) = \frac{3}{4}$.

3. Найдём вероятность совместного наступления событий A и B, то есть $A \cap B$ (при первом броске орёл И орёл выпал хотя бы раз). Если при первом броске выпал орёл (событие А), то орёл уже выпал хотя бы один раз. Это означает, что наступление события А автоматически влечет за собой наступление события B. Следовательно, событие $A \cap B$ совпадает с событием A. Ему благоприятствуют исходы {ОО, ОР}, и его вероятность $P(A \cap B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

4. Проверим условие независимости: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Так как $P(A \cap B) \ne P(A) \cdot P(B)$ ( $\frac{1}{2} \ne \frac{3}{8}$ ), события A и B не являются независимыми.

Ответ: события не являются независимыми.

132 Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события:

a) A «при первом броске выпадает шестёрка» и B «при втором броске выпадает меньше трёх очков»;

б) A «при первом броске выпадает больше трёх очков» и B «сумма выпавших очков меньше девяти»?

Два события A и B называются независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

При двух бросках игральной кости существует $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов.

а) A «при первом броске выпадет шестёрка» и B «при втором броске выпадет меньше трёх очков»
1. Найдем вероятность события A. Событию A (при первом броске выпадет шестёрка) благоприятствуют 6 исходов: (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6). Вероятность события A: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
2. Найдем вероятность события B. Событию B (при втором броске выпадет меньше трёх очков, то есть 1 или 2) благоприятствуют $6 \times 2 = 12$ исходов: (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1) и (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2). Вероятность события B: $P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
3. Найдем вероятность совместного наступления событий A и B ($A \cap B$). Событие $A \cap B$ означает, что при первом броске выпала шестёрка, а при втором — 1 или 2. Этому соответствуют 2 исхода: (6, 1) и (6, 2). Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
4. Проверим условие независимости. $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$. Так как $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ($ \frac{1}{18} = \frac{1}{18} $), события A и B являются независимыми.
Ответ: да, события являются независимыми.

б) A «при первом броске выпадет больше трёх очков» и B «сумма выпавших очков меньше девяти»
1. Найдем вероятность события A. Событию A (при первом броске выпадет больше трёх очков, то есть 4, 5 или 6) благоприятствуют $3 \times 6 = 18$ исходов. Вероятность события A: $P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
2. Найдем вероятность события B. Событию B (сумма выпавших очков меньше девяти) благоприятствуют исходы, сумма которых равна 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8. Проще посчитать количество неблагоприятных исходов (сумма $\ge 9$):

• Сумма 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) — 4 исхода.
• Сумма 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) — 3 исхода.
• Сумма 11: (5, 6), (6, 5) — 2 исхода.
• Сумма 12: (6, 6) — 1 исход.

Всего неблагоприятных исходов: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$. Количество благоприятных исходов для события B: $36 - 10 = 26$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$.
3. Найдем вероятность совместного наступления событий A и B ($A \cap B$). Событие $A \cap B$ означает, что при первом броске выпало больше трёх (4, 5 или 6), и сумма очков меньше девяти.

• Если первый бросок 4, то второй должен быть меньше 5 (1, 2, 3, 4) — 4 исхода.
• Если первый бросок 5, то второй должен быть меньше 4 (1, 2, 3) — 3 исхода.
• Если первый бросок 6, то второй должен быть меньше 3 (1, 2) — 2 исхода.

Всего благоприятных исходов для $A \cap B$: $4 + 3 + 2 = 9$. Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.
4. Проверим условие независимости. $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{18} = \frac{13}{36}$. Сравним $P(A \cap B)$ и $P(A) \cdot P(B)$: $\frac{1}{4} = \frac{9}{36}$. Так как $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ ($ \frac{9}{36} \neq \frac{13}{36} $), события A и B не являются независимыми (являются зависимыми).
Ответ: нет, события не являются независимыми.

133 Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. Событие $C$ — «число чётное». Являются ли события $C$ и $D$ независимыми, если событие $D$ состоит в том, что:

a) выбранное число делится на 3;

б) выбранное число делится на 7?

а) выбранное число делится на 3;
Два события являются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей. Формула независимости событий $C$ и $D$: $P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)$.
Общее число возможных исходов — это выбор одного натурального числа от 1 до 24, то есть $n=24$.
Событие $C$ — «выбранное число чётное».
В диапазоне от 1 до 24 находится 12 чётных чисел: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}.
Вероятность события $C$ составляет $P(C) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
Событие $D$ — «выбранное число делится на 3».
В диапазоне от 1 до 24 находится 8 чисел, делящихся на 3: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}.
Вероятность события $D$ составляет $P(D) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
Событие $C \cap D$ означает, что число одновременно чётное и делится на 3, то есть оно делится на 6.
В диапазоне от 1 до 24 находится 4 числа, делящихся на 6: {6, 12, 18, 24}.
Вероятность события $C \cap D$ составляет $P(C \cap D) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.
Теперь проверим условие независимости:
$P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Поскольку $P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)$ (так как $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$), события $C$ и $D$ являются независимыми.
Ответ: да, являются.

б) выбранное число делится на 7?
Вероятность события $C$ («выбранное число чётное») остается той же: $P(C) = \frac{1}{2}$.
Событие $D$ — «выбранное число делится на 7».
В диапазоне от 1 до 24 находится 3 числа, делящихся на 7: {7, 14, 21}.
Вероятность события $D$ составляет $P(D) = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
Событие $C \cap D$ означает, что число одновременно чётное и делится на 7, то есть оно делится на 14.
В диапазоне от 1 до 24 есть только одно такое число: {14}.
Вероятность события $C \cap D$ составляет $P(C \cap D) = \frac{1}{24}$.
Проверим условие независимости:
$P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$.
Поскольку $P(C \cap D) \neq P(C) \cdot P(D)$ (так как $\frac{1}{24} \neq \frac{1}{16}$), события $C$ и $D$ не являются независимыми (они зависимы).
Ответ: нет, не являются.

1 Дайте определение независимых событий.

1 Два случайных события $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Формально это определяется через вероятность совместного наступления событий. События $A$ и $B$ независимы тогда и только тогда, когда вероятность их пересечения (то есть одновременного наступления) равна произведению их индивидуальных вероятностей:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Это определение эквивалентно определению через условную вероятность (при условии, что $P(B) > 0$): событие $A$ не зависит от события $B$, если условная вероятность $A$ при условии, что $B$ произошло, равна безусловной вероятности $A$:
$P(A|B) = P(A)$

Понятие независимости обобщается и на случай более чем двух событий. События $A_1, A_2, \ldots, A_n$ называются независимыми в совокупности (или взаимно независимыми), если для любого набора из $k$ событий ($2 \le k \le n$) из этого множества вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей. Например, для трех событий $A, B, C$ их независимость в совокупности означает выполнение следующих четырех равенств:
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
$P(A \cap C) = P(A)P(C)$
$P(B \cap C) = P(B)P(C)$
$P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$

Ответ: Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

2 События $A$ и $\overline{A}$ имеют положительные вероятности. Могут ли события $A$ и $\overline{A}$ быть независимыми?

Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Применим это определение к событиям $A$ и $\bar{A}$. Для того чтобы они были независимыми, должно выполняться равенство: $P(A \cap \bar{A}) = P(A) \cdot P(\bar{A})$.

Рассмотрим левую часть равенства. Событие $\bar{A}$ является дополнением к событию $A$, то есть означает, что событие $A$ не произошло. События $A$ и $\bar{A}$ не могут произойти одновременно, они являются несовместными. Их пересечение $A \cap \bar{A}$ является невозможным событием (пустым множеством, $\emptyset$). Вероятность невозможного события всегда равна нулю: $P(A \cap \bar{A}) = P(\emptyset) = 0$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства. По условию задачи, вероятности событий $A$ и $\bar{A}$ положительны: $P(A) > 0$ и $P(\bar{A}) > 0$. Следовательно, их произведение также будет строго больше нуля: $P(A) \cdot P(\bar{A}) > 0$.

Подставим полученные значения в уравнение независимости: $0 = P(A) \cdot P(\bar{A})$.

Однако мы выяснили, что правая часть этого равенства строго больше нуля. Таким образом, мы приходим к противоречию: $0 > 0$, что является ложным утверждением. Это противоречие означает, что исходное предположение о независимости событий $A$ и $\bar{A}$ (при условии их положительных вероятностей) неверно.

Ответ: Нет, события $A$ и $\bar{A}$ не могут быть независимыми, если их вероятности положительны.

3 Являются ли элементарные события в случайном опыте независимыми событиями?

Нет, в общем случае элементарные события в случайном опыте не являются независимыми. Наоборот, любые два различных элементарных события являются взаимоисключающими (несовместными), что представляет собой сильную форму зависимости.

Чтобы понять почему, давайте обратимся к определениям и математическому аппарату теории вероятностей.

Определения

Элементарное событие (исход) — это один из неделимых, базовых результатов случайного опыта. Множество всех элементарных событий образует пространство элементарных событий $\Omega$. Например, при броске монеты элементарными событиями являются "орёл" и "решка".

Независимые события — события $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Математически это означает, что вероятность их одновременного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Несовместные (взаимоисключающие) события — события $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Это значит, что их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$), и, следовательно, вероятность их совместного наступления равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.

Анализ

Рассмотрим два различных элементарных события в одном и том же опыте, назовем их $\omega_1$ и $\omega_2$. По своему определению, если в результате опыта наступило событие $\omega_1$, то событие $\omega_2$ наступить уже не может. Это означает, что элементарные события являются несовместными.

Поскольку они несовместны, вероятность их одновременного наступления равна нулю:

$P(\{\omega_1\} \cap \{\omega_2\}) = 0$

Теперь применим критерий независимости. Если бы события $\omega_1$ и $\omega_2$ были независимыми, должно было бы выполняться равенство:

$P(\{\omega_1\} \cap \{\omega_2\}) = P(\{\omega_1\}) \cdot P(\{\omega_2\})$

Подставив в левую часть $0$, получим:

$0 = P(\{\omega_1\}) \cdot P(\{\omega_2\})$

Данное равенство справедливо только в том случае, если вероятность хотя бы одного из событий равна нулю (то есть $P(\{\omega_1\}) = 0$ или $P(\{\omega_2\}) = 0$). Однако в большинстве практических задач рассматриваются элементарные события, которые могут произойти, а значит, их вероятности строго положительны ($P(\{\omega_1\}) > 0$ и $P(\{\omega_2\}) > 0$).

Если вероятности обоих событий больше нуля, то их произведение также будет больше нуля: $P(\{\omega_1\}) \cdot P(\{\omega_2\}) > 0$.

Мы приходим к противоречию: $0 > 0$. Это доказывает, что два различных элементарных события с ненулевой вероятностью не могут быть независимыми.

Пример: Бросок игральной кости

Пусть случайный опыт — это однократный бросок стандартной шестигранной кости. Пространство элементарных событий: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Рассмотрим два элементарных события:
Событие A: "выпало число 2". Его вероятность $P(A) = 1/6$.
Событие B: "выпало число 5". Его вероятность $P(B) = 1/6$.

События A и B несовместны, так как за один бросок не может выпасть одновременно и 2, и 5. Следовательно, вероятность их совместного наступления $P(A \cap B) = 0$.

Проверим условие независимости: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

$0 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$

$0 = \frac{1}{36}$

Равенство неверно. Следовательно, события "выпало 2" и "выпало 5" являются зависимыми.

Ответ: Нет, элементарные события в случайном опыте не являются независимыми, если их вероятности отличны от нуля. Они являются несовместными, а несовместные события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы, так как наступление одного из них исключает возможность наступления другого, что и является проявлением зависимости.