Номер 84, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

84 Наименьшее значение набора равно $m$, наибольшее значение равно $M$. Каждое число набора умножили на одно и то же число $b$. Найдите наименьшее и наибольшее значения получившегося набора, если:

a) $b > 0$;

б) $b < 0$.

Пусть исходный набор чисел — это $S$. По условию, наименьшее значение в наборе равно $m$, а наибольшее равно $M$. Это означает, что для любого числа $x$ из этого набора справедливо неравенство: $m \le x \le M$.

Каждое число набора умножают на число $b$. Получается новый набор чисел, в котором каждый элемент имеет вид $b \cdot x$. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения в этом новом наборе. Рассмотрим два случая.

а) $b > 0$
Если мы умножаем все части неравенства $m \le x \le M$ на положительное число $b$, знаки неравенства сохраняются: $b \cdot m \le b \cdot x \le b \cdot M$ Следовательно, наименьшее значение в новом наборе будет $bm$, а наибольшее — $bM$.
Ответ: наименьшее значение равно $bm$, наибольшее значение равно $bM$.

б) $b < 0$
Если мы умножаем все части неравенства $m \le x \le M$ на отрицательное число $b$, знаки неравенства меняются на противоположные: $b \cdot m \ge b \cdot x \ge b \cdot M$ Это неравенство можно переписать в привычном виде, поменяв местами левую и правую части: $bM \le bx \le bm$ Следовательно, наименьшее значение в новом наборе будет $bM$ (произведение исходного наибольшего на отрицательное число), а наибольшее — $bm$ (произведение исходного наименьшего на отрицательное число).
Ответ: наименьшее значение равно $bM$, наибольшее значение равно $bm$.