Номер 5, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

5 Что больше подвержено изменчивости — масса каждого отдельного шоколадного батончика или средняя масса в партии батончиков?

Для ответа на этот вопрос обратимся к основам теории вероятностей и математической статистики. Изменчивость — это мера разброса значений некоторой величины. Мы сравниваем изменчивость двух показателей: массы одного случайно взятого батончика и средней массы батончиков в целой партии.

Представим массу каждого отдельного батончика как случайную величину $X$. Из-за несовершенства производственного процесса масса каждого батончика будет немного отличаться от стандарта. Эта изменчивость характеризуется дисперсией, которую мы обозначим как $\sigma^2$. Чем больше $\sigma^2$, тем сильнее масса отдельных батончиков может отклоняться от среднего значения.

Партия батончиков — это выборка из $n$ штук. Средняя масса в партии — это выборочное среднее $\bar{X}$. Оно вычисляется как сумма масс всех батончиков в партии, деленная на их количество: $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$.

Ключевой момент заключается в том, как связана изменчивость (дисперсия) отдельного батончика и изменчивость средней массы по партии. Согласно фундаментальному свойству дисперсии, дисперсия среднего значения выборки из $n$ независимых наблюдений в $n$ раз меньше, чем дисперсия одного наблюдения:

$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\text{Var}(X)}{n} = \frac{\sigma^2}{n}$

Здесь $\text{Var}(\bar{X})$ — это дисперсия (изменчивость) средней массы, а $\sigma^2$ — дисперсия (изменчивость) массы одного батончика. Поскольку партия подразумевает, что в ней больше одного батончика (то есть $n > 1$), то знаменатель $n$ в формуле больше единицы. Следовательно, $\frac{\sigma^2}{n} < \sigma^2$.

Это означает, что изменчивость средней массы в партии всегда меньше изменчивости массы отдельного батончика. Интуитивно это можно объяснить эффектом усреднения: случайные отклонения масс отдельных батончиков (один батончик немного тяжелее нормы, другой — немного легче) при расчете среднего значения компенсируют друг друга. В результате средняя масса по партии оказывается гораздо более стабильной и предсказуемой величиной.

Таким образом, масса каждого отдельного шоколадного батончика подвержена большей изменчивости, чем средняя масса в партии.

Ответ: Масса каждого отдельного шоколадного батончика больше подвержена изменчивости.