Номер 76, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

76 Среднее арифметическое числового набора $Y$ равняется 8. Найдите среднее арифметическое числового набора, который получится, если все числа набора $Y$:

а) умножить на число 2;

б) разделить на 4;

в) умножить на -3;

г) разделить на -3.

Это задача на свойство среднего арифметического. Если все числа некоторого набора умножить (или разделить) на одно и то же число, то и среднее арифметическое этого набора изменится соответствующим образом (умножится или разделится на это же число).

Докажем это и решим задачу.

Пусть числовой набор Y состоит из $n$ чисел: $y_1, y_2, \ldots, y_n$.

Среднее арифметическое этого набора, которое мы обозначим как $\bar{y}$, вычисляется по формуле:

$\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}$

По условию задачи, среднее арифметическое набора Y равняется 8, то есть $\bar{y} = 8$.

$\frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} = 8$

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) умножить на число 2;

Если каждое число набора Y умножить на 2, мы получим новый набор: $2y_1, 2y_2, \ldots, 2y_n$.

Найдем среднее арифметическое нового набора, обозначим его $\bar{y}_{new}$:

$\bar{y}_{new} = \frac{2y_1 + 2y_2 + \ldots + 2y_n}{n} = \frac{2(y_1 + y_2 + \ldots + y_n)}{n}$

Мы знаем, что $\frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}$ это исходное среднее арифметическое, равное 8. Поэтому:

$\bar{y}_{new} = 2 \times 8 = 16$

Ответ: 16.

б) разделить на 4;

Если каждое число набора Y разделить на 4, мы получим новый набор: $\frac{y_1}{4}, \frac{y_2}{4}, \ldots, \frac{y_n}{4}$.

Найдем среднее арифметическое нового набора:

$\bar{y}_{new} = \frac{\frac{y_1}{4} + \frac{y_2}{4} + \ldots + \frac{y_n}{4}}{n} = \frac{\frac{1}{4}(y_1 + y_2 + \ldots + y_n)}{n} = \frac{1}{4} \times \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}$

Подставив известное значение среднего арифметического:

$\bar{y}_{new} = \frac{1}{4} \times 8 = 2$

Ответ: 2.

в) умножить на –3;

Если каждое число набора Y умножить на –3, мы получим новый набор: $-3y_1, -3y_2, \ldots, -3y_n$.

Найдем среднее арифметическое нового набора:

$\bar{y}_{new} = \frac{-3y_1 - 3y_2 - \ldots - 3y_n}{n} = \frac{-3(y_1 + y_2 + \ldots + y_n)}{n}$

Подставив известное значение среднего арифметического:

$\bar{y}_{new} = -3 \times 8 = -24$

Ответ: –24.

г) разделить на –3.

Если каждое число набора Y разделить на –3, мы получим новый набор: $\frac{y_1}{-3}, \frac{y_2}{-3}, \ldots, \frac{y_n}{-3}$.

Найдем среднее арифметическое нового набора:

$\bar{y}_{new} = \frac{\frac{y_1}{-3} + \frac{y_2}{-3} + \ldots + \frac{y_n}{-3}}{n} = \frac{-\frac{1}{3}(y_1 + y_2 + \ldots + y_n)}{n} = -\frac{1}{3} \times \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}$

Подставив известное значение среднего арифметического:

$\bar{y}_{new} = -\frac{1}{3} \times 8 = -\frac{8}{3}$

Ответ: $-\frac{8}{3}$.