Номер 75, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

75 Среднее арифметическое числового набора X равняется 5. Найдите среднее арифметическое числового набора, который получится, если:

а) ко всем числам набора X прибавить число 4;

б) из всех чисел набора X вычесть число 12;

в) ко всем числам набора X прибавить число 8;

г) из всех чисел набора X вычесть число 3.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством среднего арифметического. Если ко всем числам набора прибавить (или вычесть) одно и то же число $c$, то среднее арифметическое этого набора также увеличится (или уменьшится) на это число $c$. Исходное среднее арифметическое равно 5.

Давайте докажем это свойство и применим его к каждому пункту.Пусть исходный числовой набор X состоит из $n$ чисел: $x_1, x_2, \dots, x_n$.Среднее арифметическое этого набора $M_X$ вычисляется по формуле:$M_X = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$По условию, $M_X = 5$. Следовательно, сумма всех чисел набора $S_X = x_1 + x_2 + \dots + x_n = 5n$.

а) ко всем числам набора X прибавить число 4;
Получим новый набор чисел: $(x_1 + 4), (x_2 + 4), \dots, (x_n + 4)$.Сумма нового набора $S_a$ будет равна:$S_a = (x_1 + 4) + (x_2 + 4) + \dots + (x_n + 4) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) + 4n$Подставим значение суммы исходного набора $S_X = 5n$:$S_a = 5n + 4n = 9n$Новое среднее арифметическое $M_a$ равно:$M_a = \frac{S_a}{n} = \frac{9n}{n} = 9$Таким образом, новое среднее арифметическое равно исходному, увеличенному на 4: $5 + 4 = 9$.
Ответ: 9

б) из всех чисел набора X вычесть число 12;
Получим новый набор чисел: $(x_1 - 12), (x_2 - 12), \dots, (x_n - 12)$.Сумма нового набора $S_б$ будет равна:$S_б = (x_1 - 12) + (x_2 - 12) + \dots + (x_n - 12) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) - 12n$Подставим значение суммы исходного набора $S_X = 5n$:$S_б = 5n - 12n = -7n$Новое среднее арифметическое $M_б$ равно:$M_б = \frac{S_б}{n} = \frac{-7n}{n} = -7$Таким образом, новое среднее арифметическое равно исходному, уменьшенному на 12: $5 - 12 = -7$.
Ответ: -7

в) ко всем числам набора X прибавить число 8;
Получим новый набор чисел: $(x_1 + 8), (x_2 + 8), \dots, (x_n + 8)$.Сумма нового набора $S_в$ будет равна:$S_в = (x_1 + 8) + (x_2 + 8) + \dots + (x_n + 8) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) + 8n$Подставим значение суммы исходного набора $S_X = 5n$:$S_в = 5n + 8n = 13n$Новое среднее арифметическое $M_в$ равно:$M_в = \frac{S_в}{n} = \frac{13n}{n} = 13$Таким образом, новое среднее арифметическое равно исходному, увеличенному на 8: $5 + 8 = 13$.
Ответ: 13

г) из всех чисел набора X вычесть число 3.
Получим новый набор чисел: $(x_1 - 3), (x_2 - 3), \dots, (x_n - 3)$.Сумма нового набора $S_г$ будет равна:$S_г = (x_1 - 3) + (x_2 - 3) + \dots + (x_n - 3) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) - 3n$Подставим значение суммы исходного набора $S_X = 5n$:$S_г = 5n - 3n = 2n$Новое среднее арифметическое $M_г$ равно:$M_г = \frac{S_г}{n} = \frac{2n}{n} = 2$Таким образом, новое среднее арифметическое равно исходному, уменьшенному на 3: $5 - 3 = 2$.
Ответ: 2