Номер 4, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Сформулируйте свойство 2 среднего арифметического.

Свойство 2 среднего арифметического гласит, что если все значения исходной совокупности данных увеличить или уменьшить на одно и то же число A, то среднее арифметическое этой совокупности соответственно увеличится или уменьшится на то же самое число A.

Для доказательства этого свойства рассмотрим совокупность чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Ее среднее арифметическое, обозначаемое как $\bar{x}$, вычисляется по формуле: $$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $$ Теперь создадим новую совокупность чисел $y_1, y_2, \ldots, y_n$, где каждый элемент получен путем прибавления константы $A$ к соответствующему элементу исходной совокупности: $y_i = x_i + A$. Найдем среднее арифметическое $\bar{y}$ для новой совокупности: $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i + A)}{n} $$ Используя свойство суммы, можно переписать выражение в числителе: $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} A}{n} $$ Сумма константы $A$, повторенной $n$ раз, равна $n \cdot A$. Подставим это в формулу: $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i + nA}{n} $$ Разделив почленно числитель на знаменатель, получим: $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} + \frac{nA}{n} = \bar{x} + A $$ Таким образом, свойство доказано.

Проиллюстрируем это свойство на примере. Пусть дан набор чисел: 2, 5, 8. Найдем его среднее арифметическое $\bar{x}$: $$ \bar{x} = \frac{2 + 5 + 8}{3} = \frac{15}{3} = 5 $$ Теперь увеличим каждое число на 4. Получим новый набор чисел: $2+4=6$, $5+4=9$, $8+4=12$. Найдем среднее арифметическое $\bar{y}$ для нового набора: $$ \bar{y} = \frac{6 + 9 + 12}{3} = \frac{27}{3} = 9 $$ С другой стороны, согласно свойству, новое среднее арифметическое можно было найти, прибавив 4 к старому среднему: $\bar{y} = \bar{x} + 4 = 5 + 4 = 9$. Результаты совпадают, что подтверждает верность свойства.

Ответ: Если все значения в наборе данных изменить (увеличить или уменьшить) на одну и ту же величину, то их среднее арифметическое изменится (увеличится или уменьшится) на ту же самую величину.